Касательная к окружности. Свойства касательных к окружности. 7 класс

Повторим
Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Через любую точку вне окружности можно провести ровно две касательные к окружности.
Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.
Свойства касательных к окружности
Теорема. Касательная перпендикулярна радиусу окружности, проведенному к точке касания.
Обратная теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащего на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.
Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Задача 1.
Докажи, что отрезки AB и CD общих пересекающихся внешних касательных к двум окружностям равны.
Доказательство
Длина отрезка AB выражается как AB = SA – SB. Аналогично, CD = SC – SD. Учитывая равенства SA = SC и SB = SD, можно записать:
AB = SA – SB = SC – SD = CD
Отсюда:
AB = CD
Доказано.

Задача 2.
На рисунке AB, BC, AC – касательные. A1, B1, C1 – точки касания.AA1 = 5, BB1 = 4, CC1 = 6. Найди периметр ΔABC.
Решение.
AB, BC, AC – касательные, а A1, B1, C1 – точки касания, тогда отрезки касательных будут равны.
AA1 = AC1, BB1 = BA1, CC1 = CB1
(по свойству касательных, проведенных из одной точки)
Следовательно:
AC1 = 5, BA1 = 4, CB1 = 6
Отсюда:
AC = AC1 + CC1 = 5 + 6 = 11
AB = AA1 + BA1 = 5 + 4 = 9
BC = BB1 + CB1 = 4 + 6 = 10
Тогда периметр ΔABC:
PΔABC = AB + AC + BC = 9 + 11 + 10 = 30
Периметр ΔABC:
PΔABC = 30.

ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

1.На рисунке DB, DC – касательные к окружности, R = 2. Найди длину BD.

Решение
Так как DB, DC – касательные, то они перпендикулярны радиусу окружности. Эти отрезки проведены из одной точки, значит, по свойству касательных, проведенных из одной точки, отрезки равны. Получается, что в четырехугольнике OBDC три угла – прямые.
DB = DC, OB = OC как радиусы
Значит, OBDC является квадратом. Отсюда:
BD = R = 2.

2.По рисунку выбери соответствующие названия указанных элементов.
AB
AC
BC
BD
CD
OC
радиус
хорда
диаметр
секущая
касательная

3.На рисунке AB, BC, AC – касательные. A1, B1, C1 – точки касания. AA1 = 4, BB1 = 3, CC1 = 5. Выбери соответствующие значения указанных элементов.
A1B =.
B1C =.
AC1 =.
AC =.
AB =.
BC =.

Решение
A1B =3
B1C =5
AC1 =4
AC = 9
AB =7
BC =8
AB, BC, AC – касательные, а A1, B1, C1 – точки касания, то
AA1 = AC1, BB1 = BA1, CC1 = CB1
По свойству касательных, проведенных из одной точки, отрезки касательных будут равны. Тогда:
AC1 = 4, BA1 = 3, CB1 = 5.
Отсюда:
AC = AC1 + CC1 = 4 + 5 = 9
AB = AA1 + BA1 = 4 + 3 = 7
BC = BB1 + CB1 = 3 + 5 = 8.

4.На рисунке AB – касательная, BC – секущая, AB = AO. Найди ∠ABO.
По свойству касательной: AB ⊥ AO, по условию задачи: AB = AO. Из этого следует, что ⊿ABO – прямоугольный и равнобедренный. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна:
∠AOB + ∠ABO = 90°
Так как рассматриваемый треугольник – равнобедренный, то углы при основании равны. Т. е.
∠AOB = ∠ABO = 45°.

5.Отрезки AB и CD – общие пересекающиеся внутренние касательные к двум окружностям. Известно, что длина отрезка AB = 3. Найди длину CD.
Отрезки касательных, проведенные к окружностям, будут равны по свойству: отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Т. е.
OD = OB, OA = OC
Отрезок CD = OC + OD. Замени в данном выражении отрезки равными им отрезками из предыдущего равенства:
CD = OA + OB = AB
Следовательно:
CD = 3.

Учебные задания
На рисунке AB, BC, AC – касательные. A1, B1, C1 – точки касания. AA1 = 4, BB1 = 3, CC1 = 5. Найди периметр ΔABC.

Учебные задания
Отрезки AP и CP – общие пересекающиеся внешние касательные к двум окружностям. Известно, что длина отрезков AP = 9, DP = 4. Найди длину AB.