Применение производной к графику функций

Вогнутость
функции
Точки
максимума
Точки
минимума
Точки
перегиба
Убывание
функции
Выпуклость
функции
Нули функции
y=f(x)
Возрастание
функции

1. Возрастание функции
Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке, если при возрастании аргумента, значение функции увеличивается
Функция y=f(x) возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции
Теорема: Если производная на промежутке положительная, то функция y=f(x) на данном промежутке возрастает.
y=f(x)

2. Убывание функции
Функция y=f(x) называется убывающей на промежутке, если при возрастании аргумента, значение функции уменьшается.
Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции
Теорема: Если производная на промежутке отрицательная, то функция y=f(x) на данном промежутке убывает.
y=f(x)

3. Точки максимума
Точка х = а называется точкой максимума функции y=f(x) если производная в данной точке равна 0, и при переходе через эту точку слева направо знак производной меняется с (+) на (-)
y=f(x)
Распознать точку максимума по графику функции очень просто. График функции в окрестности точки максимума выглядят как гладкий “холм”

4. Точки минимума
Точка х = а называется точкой минимума функции y=f(x) если производная в данной точке равна 0, и при переходе через эту точку слева направо знак производной меняется с (-) на (+)
Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
y=f(x)
Распознать точку минимума по графику функции очень просто. График функции в окрестности точки минимума выглядят как гладкая “впадина”

5. Выпуклость функции
Функция y=f(x) называется выпуклой на промежутке, если все точки графика функции расположены ниже касательной.
y=f(x)

6. Вогнутость функции
Функция y=f(x) называется вогнутой на промежутке, если все точки графика функции расположены выше касательной.
y=f(x)
у”>0
у”>0

7. Точки перегиба
P1
Точка Р называется точкой перегиба функции y=f(x) если при переходе через эту точку слева направо знак второй производной меняется.
y=f(x)
Распознать точку перегиба по графику функции очень просто. График функции в окрестности точки перегиба выглядит границей между “холмом” и “впадиной”

8. Нули функции
Точки, в которых график функции пересекает ось ОХ называются нулями функции.
Ординаты этих точек равны 0. f(x1)= f(x2)=0
y=f(x)

производная равна нулю
(стационарные точки)
критические точки
производная не существует
максимума
«+» на «-»
минимума
«-» на «+»
перегиба
знак
не меняется
максимума
«+» на «-»
минимума
«-» на «+»
излома
знак
не меняется
плавные линии
угловатые линии
точка
точка
точка
точка
точка
точка

Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36.
Находим критические точки: y’=0.
x²-x-6=0
Д=1-4*(-6)*1=1+24=25
Делим область определения на интервалы:
Функция возрастает при xϵ(-∞;-2]υ[3;+∞), функция убывает при xϵ[-2;3].
Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5

Область определения: R (х-любое) Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=-6x²-6x+12.
Находим критические точки: y’=0.
-x²-x+2=0
Д=1-4*(-1)*2=1+8=9
x1=1; x2=-2
Делим область определения на интервалы:
x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: ymax=3.
Пример №3. Найти экстремумы функции
y=-2x³-3x²+12x-4

ПРИМЕР №4. НАЙТИ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ F(X)=X4-4X3
ООФ x-любое
f '(x)=(x4-4x3)’ =4x3-4∙3x2= 4x3-12x2
f '(x)=0 4x3-12x2=0 4x2(x-3)=0
x=0 x=3 – стационарные точки
4.
- - + f '(x)
0 3 f(x)
5. x=3 – точка min ( )
x=0 – точка перегиба (т.к. производная в этой точке свой знак не меняет)

Пример №7. Найти экстремумы функции
y=x3+3x2+9x-6.
Решение:
Находим область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x3+3x2+9x-6)’=3x2+6x+9.
Приравниваем её к нулю: 3x2+6x+9=0, откуда D<0. То есть критических точек не существует.
Однако, функция возрастает на всей D(y), так как y’=3x2+6x+9 >0:

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ
Пусть дана функция f(x)
1. Найти ООФ
2. Найти производную f '(x)
3. Найти корни уравнения (стационарные точки) f '(x)=0
4. Найти на числовой прямой промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремумов.
+ - + f '(x)
f(x)
- точка max - точка min
Если производная знаки не меняет, значит эта точка перегиба
5. Записать ответ

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
Алгоритм
исследования функции с помощью производной:
Пусть дана функция f(x)
Область определения функции.
Четность.
Периодичность.
Точки пересечения графика с осями координат (нули функции)
С осью Ох у=0, т.е. f(x)=0 С осью Оу х=0, т.е. у(0).
5. Найти производную f '(x)
6. Найти корни уравнения (стационарные точки) f '(x)=0
7. Найти на числовой прямой точки экстремума (точка max ; точка min)
Если производная знаки не меняет, значит эта точка перегиба
8. Значение функции в этих точках, т. е. ymax и ymin ( подставлять в f(x))
Направление выпуклости графика функции.
Построение графика и нахождение дополнительных координат (если это требуется)

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Задача.
Построить график функции y=x3-2x2+x
ООФ: x – любое
f '(x)=(x3-2x2+x)’ = 3x2-2∙2x+1 = 3x2-4x+1
f '(x)=0 3x2-4x+1=0
x1=1 x2=1/3
4. + - + f '(x)
1/3 1 f(x)
x=1/3 – т. max ( ) x=1 – т. min ( )
5. ymax=(1/3)3-2∙(1/3)2+1/3=4/27
ymin=13-2∙12+1=0
6. Находим точки пересечения графика с осями координат:
С осью Ох у=0 => x3-2x2+x =0 С осью Оу х=0 => у(0)= 03-2∙02+0=0
х(х2-2х+1)=0; х=0 х=1
7. Построение графика и нахождение дополнительных координат (если это требуется)

АСИМПТОТЫ
АСИ́МПТОТА (ОТ ГРЕЧ. ΑΣΫΜΠΤΩΤΟΣ — НЕСОВПАДАЮЩИЙ, НЕ КАСАЮЩИЙСЯ) КРИВОЙ С БЕСКОНЕЧНОЙ ВЕТВЬЮ — ПРЯМАЯ, ОБЛАДАЮЩАЯ ТЕМ СВОЙСТВОМ, ЧТО РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ КРИВОЙ ДО ЭТОЙ ПРЯМОЙ СТРЕМИТСЯ К НУЛЮ ПРИ УДАЛЕНИИ ТОЧКИ ВДОЛЬ ВЕТВИ В БЕСКОНЕЧНОСТЬ.
Рис. 1. Для гиперболы Y=1/X асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
ВЕРТИКАЛЬНАЯ АСИМПТОТА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРЯМАЯ X = A НАЗЫВАЕТСЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ АСИМПТОТОЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ Y = F (X), ЕСЛИ ХОТЯ БЫ ОДНО ИЗ ПРЕДЕЛЬНЫХ
ЗНАЧЕНИЙ ИЛИ РАВНО
Наличие вертикальной асимптоты характеризует поведение функции в окрестности данной конечной точки (не на бесконечности).

ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ АСИМПТОТА
Определение. Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции
y = f (х), если

НАКЛОННАЯ АСИМПТОТА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРЯМАЯ Y = KX + B НАЗЫВАЕТСЯ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТОЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ Y = F (X),
ЕСЛИ [ F (X) - (KX + B)] = 0 ФОРМАЛЬНО, ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ АСИМПТОТУ МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ НАКЛОННОЙ,
ЕСЛИ К=0.
ТЕОРЕМА. ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ПРЯМАЯ Y = KX + B БЫЛА НАКЛОННОЙ АСИМПТОТОЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Y = F (X), НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ СУЩЕСТВОВАЛИ ДВА ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯ:
К= И B=

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ.
РАССМОТРИМ ПОЛНУЮ СХЕМУ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЯ ЕЕ ГРАФИКА ПО ПОЛУЧЕННЫМ РЕЗУЛЬТАТАМ ИССЛЕДОВАНИЯ.

Решение :

x

A max
7. ГРАФИК ФУНКЦИИ.
-5
6
5
В min

РЕШЕНИЕ :

X

Точек перегиба нет.
X

A max
7. ГРАФИК ФУНКЦИИ.
-3
3
1