Презентация мера угла, синус, косинус

Для чего нужны синусы и косинусы в обычной жизни?
На практике синусы и косинусы применяются во всех инженерных специальностях, особенно в строительных. Их используют моряки и летчики в расчетах курса движения. Не обходятся без синусов и косинусов геодезисты, и даже путешественники. В географии применяют для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах.

Детская школа Гауди в Барселоне

Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине

Мост в Сингапуре

Немного из истории…
1. Древние вавилоняне и египтяне изучали тригонометрию как часть астрономии; разделили окружность на 360°
2. Древние индийцы: ввели названия «синус», «косинус», составили таблицы синусов, косинусов
3. IX-XVвв – Средний и Ближний восток: составляли таблицы котангенса, тангенса, косеканса; ввели понятие единичной окружности

Немного из истории…
4. Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (1201-1274) выделил раздел тригонометрии из астрономии.
5. Лев Герсонид (1288-1344) – открыл теорему синусов.
6. XVII-XIXвв: применение тригонометрии в механике, физике, технике, как часть математического анализа (Виетт, Бернулли) – тригонометрические символы, графики – синусоиды.
7. Л.Эйлер: придал тригонометрии современный вид.

Тригонометрия
раздел математики, изучающий соотношение сторон и углов в треугольнике
(«три» - три, «гониа» - угол, «метриа» - измеряю)

Единицы измерения углов
Градусы
Радианы

Градусная мера угла
1° – цена одного деления окружности, разделенной на 360 частей
α=1°

Радианная мера угла
1 радиан – это величина центрального угла, длина дуги которого равна радиусу
1рад.
R=1
R=1
l=R

Единицы измерения углов
Градусы
Радианы
π радиан=180°

π радиан=180°
Перевод из градусной меры в радианную:
⇓

Пример:
1.
2.
3.

Пример:
4.
5.
6.

Пример:
1.
2.
3.

Пример:
4.
5.
6.

π радиан=180°
Перевод из радианной меры в градусную:
⇓

Пример:
1.
2.
3.

Пример:
1.
2.
3.

№1: Переведите в радианную меру углы:
1) 45°
2) 15°
3) 72°
4) 100°
5) 200°
6) 360°
7) 215°
8) 150°
9) 330°

№2: Переведите в градусную меру углы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)

Перевод из градусной меры в радианную:
Перевод из радианной меры в градусную:

Самостоятельная работа
1. Переведите в радианную меру углы:
1) 60°
2) 145°
3) 240°
I вариант
II вариант
1) 320°
2) 105°
3) 40°
2. Переведите в градусную меру углы:
1)
2)
1)
2)

Ответы
1.
1)
2)
3)
I вариант
II вариант
1)
2)
3)
2.
1) 72°
2) 480°
1) 405°
2) 150°

Окружность с радиусом, равным 1называется единичной.
Данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиуса-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси x (в нашем примере, это радиус AB).
Единичная окружность r = 1

x
y
O
Положительное направление поворота:
против часовой стрелки.
Отрицательное направление поворота:
по часовой стрелке.

x
y
O
Поворот
В т. М можем попасть, выполнив множество разных поворотов.
900
1800
2700
3600
00

Вспомним:
а
в
с
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

х
у
1
1

А можно сказать, какие координаты имеет точка C, принадлежащая окружности?
А если сообразить, что cos α и sinα - это просто числа? Какой координате соответствует sinα?
Ну, конечно, координате x! А какой координате соответствует cos α?
Все верно, координате y! Таким образом, точка C(x;y)=C(cosα;sinα).

x
Единичная окружность r = 1
y
O
x
y

Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса
в координатных четвертях
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-

Четность, нечетность синуса, косинуса,
тангенса, котангенса
Нечетные функции
Четная функция

I
II
III
IV
π
2π
0
x
у

x
I
IV
II
III
π
2π
0
у

Домашнее задание
Выучить формулы перевода из градусной меры угла в радианную и обратно.
Выучить определения sin, cos, tg, ctg
3) Переведите в радианную меру углы: 75°, 15°, 130°, 220°, 340°
4) Переведите в градусную меру углы:
, , , ,