Конструктивная геометрия. Лекция 5. Метрические задачи

План лекции
1

Метрические задачи.
Основные положения
Метрические задачи - это задачи связанные с измерением, а именно,на определение натуральной величины размеров заданных фигур: расстояний (длин), углов, контуров плоских геометрических форм
2

Метрические задачи.
Основные положения
Метрические задачи решаются не только в теоретических исследованиях, но и в прикладных вопросах. Наряду с аналитическим решением, конструктивные способы позволяют наглядно представлять полученный результат, анализировать исходные данные с искомыми
2

Метрические задачи.
Основные положения
Естественно полагать, что в общем случае заданные проекции не представляют натуральную величину. В этом мы убедились при решении задачи №2, применяя при ее решении метод прямоугольного треугольника (определение натуральной величины отрезка АВ и углов его наклона к плоскостям проекций)
2

Метрические задачи.
Основные положения и примеры
Однако, при изучении свойств ортогонального проецирования отметили, если прямая параллельна плоскости проекций (прямая уровня), то её отрезок на эту плоскость проекций изображается в натуральную величину.
Аналогичное свойство имеет плоская фигура, расположенная в плоскости уровня.
Таким образом, результат решения задачи имеет место, когда прямая и плоскость занимают частное положение относительно плоскостей проекций
2

Метрические задачи.
Основные положения и примеры
Можно привести и другие примеры
X
a₁
b₁
a₂
b₂
X
A₂
B₂
A₁=a₁
B₁=b₁
a₂
b₂
X
A₂=a₂
B₂=b₂
A₁
B₁
a₁
b₁
aǁb – прямые общего положения
aǁb – проецирующие прямые
Н.В.[AB]
Н.В.[AB]
В этом случае не наблюдается натуральная величина расстояния между прямыми aǁb
Н.В.[AB] - натуральная величина расстояния между прямыми aǁb

Метрические задачи.
Основные положения
2
Таким образом, решение метрических задач значительно облегчается, когда заданные геометрические объекты занимают частные положения, т.е. параллельны и/или перпендикулярны относительно плоскостей проекций. В связи с этим, во многих решаемых задачах возникает необходимость преобразования комплексного чертежа, при котором заданные геометрические объекты переводятся из общего положения в частное

Метрические задачи.
Основные положения (решаемые задачи)
2
Продумайте, с какими геометрическими объектами могут встречаться метрические задачи по определению натуральной величины и продолжите в конспекте заполнение таблицы по строкам: 1 – расстояние (длина), 2 – угол)

Метрические задачи.
Основные положения (основные задачи)
2
Все метрические задачи, решаются посредством определенного способа преобразования на основе реализации четырех основных задач :
1) преобразование прямой общего положения в прямую уровня;
2) преобразование прямой уровня в прямую проецирующую;
3) преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую;
4) преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня.
Необходимо запомнить (наизусть!) формулировку четырех основных задач

Четыре основные задачи
2
Примеры 1-й и 2-й основных задач (1оз и 2оз), которые предусматривают преобразования прямой линии
1оз можно трактовать и так: преобразовать чертеж так, чтобы прямая общего положения стала прямой уровня
2оз - преобразовать чертеж так, чтобы прямая уровня заняла положение прямой проецирующей;
X
X
X
X
Условные обозначения проекций не указаны, так как могут быть различные положения относительно квадрантов (
S
S
S
знак S указывает на какой проекции будет Н.В.)

Четыре основные задачи
2
Примеры 3-й и 4-й основных задач 3оз и 4оз), которые предусматривают преобразования плоскости
3оз можно трактовать и так: преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью проецирующей
4оз - преобразовать чертеж так, чтобы плоскость проецирующая заняла положение плоскости уровня;
X
X
X
X
В 4оз можно определить Н.В.угла между пересекающимися прямыми (и Н.В. плоской фигуры)

Метрические задачи.
Основные положения (три важных аспекта)
2
Таким образом, рассмотрим три очень важных аспекта, без знаний которых требуемую метрическую задачу не решить:
1 аспект – необходимо предвидеть конечный результат решаемой задачи (казалось бы мы не знаем как ещё решать, но в соответствии с представленными выше примерами, их необходимо обобщить на остальные задачи в составленной Вами таблице (решаемые задачи);
2 аспект – для решения конкретной задачи необходимо освоить четыре основные задачи, как «подзадачи», применение которых позволит выполнить решение конкретной задачи. При этом, возможно нужно будет применить только одну основную задачу, или последовательно за ней и следующую;
3 аспект – поставленная задача решается одним из способов преобразования комплексного чертежа (т.е. ортогональных проекций). В конструктивной (начертательной) геометрии таких способов несколько, поэтому следующие слайды посвящены способам преобразования и решению основных задач с примерами.

Метрические задачи.
Основные положения (способы преобразования)
2
В соответствии с решением метрических задач можно подразделить такие способы преобразования, при которых геометрический объект(ы), при решении поставленной задачи, остаются фиксированными (неизменными) относительно системы плоскостей проекций, в другом преобразовании – геометрические объекты меняют своё положение относительно плоскостей проекций.
Любой из этих способов преобразования однозначно приводит к решению поставленной задачи, при условии, что Вами, во-первых, в общем виде реализуется предвиденье результата решения задачи, это – выполнение первого аспекта, во-вторых, Вы обоснованно применили реализацию основной(ных) задач – это второй аспект.
В результате этих преобразований будет получен чертёж, облегчающий дальнейшее решение задачи, либо на выполняемом чертеже будет получено готовое решение задачи.

2
Красным цветом обозначены способы, рассматриваемые ниже
Способ замены (перемены) плоскостей проекций
(или проецирование на дополнительную плоскость)
Способ вращения
Способ вращения вокруг прямых уровня
Способ вращения вокруг осей перпендикулярных к плоскостям проекций (или вращение вокруг проецирующих прямых)
Способ вращения вокруг прямых нулевого уровня (способ совмещения с плоскостями проекций)
Вращения с указанием осей вращения
Вращения без указанием осей вращения
( плоскопараллельное перемещение)
Способы преобразования

Способ замены плоскостей проекций заключается в замене одной из плоскостей проекций на другую (новую) плоскость проекций, на которой задача решается проще или будет получен готовый результат решения.
Геометрическая фигура относительно исходной системы плоскостей проекций П₁, П₂, П₃ своего положения не меняет!
Способ замены плоскостей проекций
При этом должны быть обязательно выдержаны два условия:
1. Новая плоскость проекций по отношению к оставшейся плоскости проекций должна быть перпендикулярна (но таких новых плоскостей может быть множество, тогда необходимо второе условие:
2. Новая плоскость проекций ориентируется в соответствии с применяемой основной задачи
3

Сущность способа замены плоскостей проекций
П₂
П₁
A₁
A
Ax₁₄
S
S
П₄
X₁₄
S
S
П₄
Наглядная модель проецирования способом замены плоскостей проекций
Комплексный чертеж
S
A₄
Ax₁₄
Расстояние от A₁
до оси X₁₄ - любое
A₁A₄⟘X₁₄
Ax₁₄A₄=Ax₁₂A₂=ZA
П₄⟘П₁ - получена новая система двух плоскостей проекций
X₁₂

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
В ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ УРОВНЯ
X₁₂
П2
Х₁₄
П1
П4
А1
А2
ZА
ZА
В4
В1
В2
А4
П1
ZВ
ZВ
Н.В.
7
Ax₁₂
Bx₁₂
Ax₁₄
Bx₁₄
А₁A₄⟘X₁₄
B₁B₄⟘X₁₄
Аx₁₄A₄=Ax₁₂A₂=ZA,
Bx₁₄B₄=Bx₁₂B₂=ZB;
А₄B₄=Н.В.[AB]
a

X₁₂
П2
Х14
П1
П4
А1
А2
А4=В4
В1
В2
П1
ZА=ZВ
ZА=ZВ
Н.В.
9
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОЙ УРОВНЯ В ПОЛОЖЕНИЕ
ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПРЯМОЙ
Ax₁₂
Bx₁₂
Ax₁₄=Bx₁₄

Преобразование чертежа прямой
Прямая общего положения может быть последовательно преобразована
в прямую уровня, и только затем,
в проецирующую прямую
5
таким образом, в первую очередь необходимо решить первую основную задачу (1 оз), а затем вторую (2 оз).

X12
П2
Х14
П1
П4
C1
С2
ZC
ZC
D4
D1
D2
C4
П1
ZD
ZD
Н.В.
Х45
П5
C5=D5
П4
ΔC=ΔD
ΔC=ΔD
10
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПОЛОЖЕНИЕ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПРЯМОЙ

X₁₂
П2
П1
А1
А2
YА
В1
В2
7
Ax₁₂
Bx₁₂
X₂₅
П5
П2
А₅
В5
Н.В.
Х₅₆
В6=А6
b
П5
П6
YB
YА
YB
Ax25
Bx25
Ax56
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
В ПРОЕЦИРУЮЩУЮ ПРЯМУЮ
UA
UB
UB= UA

в положение проецирующей плоскости;
Только затем в положение плоскости уровня.
Преобразование чертежа плоскости
Плоскость общего положения может быть последовательно преобразована:
11

П2
П1
П4
А4=14
П1
ZА=Z1
Н.В.
X₁₂
А2
В2
А1
В1
С2
С1
12
11
h - горизонталь
h⊂Σ(ΔABC); h⊃A, h₂ǁX₁₂
h₂∩B₂C₂=1, h₁⊃A₁1₁
A4B4C4 - отображается в прямую линию,
Σ(ΔАВС)⟘П₄
В4
С4
ZА=Z1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
В ПОЛОЖЕНИЕ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТИ
Х₁₄
13
h2
h1

П2
Х14
П1
П4
А4
П1
ZА
Н.В.
X12
А2
В2
А1
С2
С1
|ΔA4B4C4|=Н.В.(ΔABC)
В4
С4
ZА
В1
4 оз: П4 || (ΔA1B1C1),
Х14 || (A1B1C1)
ZB
ZB
ZC
ZC
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТИ В
ПЛОСКОСТЬ УРОВНЯ
14

П2
Х14
П1
П4
А4
П1
ZА
А2
В2
А1
В1
С2
С1
h2
h1
3оз: запишите в конспекте алгоритм
В4
С4
ZА
4оз: запишите в конспекте алгоритм
П5
П4
ΔА
ΔА
А5
B5
C5
Н.В.
Х45
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТЬ УРОВНЯ
15
X12