Криволинейные интегралы 1 и 2 рода. Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода, формула Грина. Лекция 28
Содержание
- 2. Криволинейные интегралы первого рода. § 1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла первого рода. Пусть дана
- 3. Дуга АВ такая, что: Гладкая (т.е. в любой точке существует касательная); Спрямляемая (т.е. имеющую длину). Пусть
- 4. Найдем значение линейной плотности материала в каждой из этих точек. Умножим длину элементарного участка дуги на
- 5. Но масса это физическая величина и не зависит от способа разбиения и выбора точек Pi. Надо
- 6. Определение (Криволинейного интеграла 1-го рода). Если существует предел интегральной суммы I, то он называется криволинейным интегралом
- 7. Теорема существования и свойства криволинейного интеграла 1 рода. Теорема (достаточные условия существования): Если функция μ(х,у,z) непрерывна
- 8. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода Считаем, что все интегралы существуют. 1. Криволинейный интеграл не зависит от
- 9. 4. Свойство аддитивности относительно участка интегрирования: то 5. Если f (x,y,z) ≡ 1 на дуге АВ,
- 10. 7. Если даны функции f (x,y,z) и ϕ(x,y,z) на дуге АВ удовлетворяет неравенству f > ϕ,
- 11. § 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Теорема (о вычисление криволинейного интеграла первого рода). Если f
- 12. Доказательство. Самостоятельно. § 3. Применение криволинейных интегралов первого рода. 1. Масса дуги где: μ(x,y,z) – линейная
- 13. 3. Для вычисления координат центра тяжести m – масса всей дуги
- 14. 4. Для вычисления момента инерции относительно оси
- 15. Криволинейные интегралы второго рода. § 4. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла второго рода. Пусть в
- 16. Пусть по дуге АВ от А к В движется материальная точка под действием силы . Найти
- 17. = Fx(Pi)Δxi + Fy(Pi)Δyi + Fz(Pi)Δzi перемещение Зная элементарную работу на каждом участке Δli для всей
- 18. = Fx(Pi)Δxi + Fy(Pi)Δyi + Fz(Pi)Δzi - вектор, который направлен по касательной. Сумма, стоящая в правой
- 19. Поэтому, чтобы работа не зависела от способа разбиения дуги точками Δli и выбора точек Pi .
- 20. |I - Fx(Pi)Δxi + Fy(Pi)Δyi + Fz(Pi)Δzi | При этом число I называется криволинейным интегралом 2-го
- 21. Свойства криволинейных интегралов 2-го рода Свойства 2-7 такие же как и для криволинейных интегралов 1-го рода.
- 22. 2. Если участок интегрирования АВ параллелен оси ОХ, то интеграл по этому участку АВ = 0
- 23. § 5. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Криволинейный интеграл 2-го рода можно вычислять если дугу АВ
- 24. АВ: , где: 1. t ∈ [α; β] 2. x(t), y(t), z(t) монотонны и непрерывно дифференцируемы
- 25. Вынося dt за общую скобку, получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла второго рода: Доказательство. Самостоятельно.
- 26. Таким образом, чтобы вычислить криволинейный интеграл 2-го рода необходимо: 1. Задать дугу АВ параметрически с учетом
- 27. § 6. Связь криволинейных интегралов второго рода с криволинейными интегралами первого рода. Пусть в пространстве есть
- 28. Рис. 1 Рис. 2
- 29. касательной, направленный в сторону обхода дуги). dx = dl⋅cosα dy = dl⋅cosβ dz = dl⋅cosγ Три
- 30. дает связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода. Хотя криволинейные интегралы первого рода не зависит
- 31. криволинейный интеграл 1-го рода ошибки не допустим. Если на плоскости есть дуга АВ, которая задается графиком
- 32. Если дуга задана в виде: АВ: x изменяется от a до b. Тогда Для криволинейных интегралов
- 33. § 7. Формула Грина. Формула связывает криволинейные интегралы по замкнутому контуру с интегралом по области, границей
- 34. Односвязная область Двусвязная область
- 35. Определение (ориентированной области). Область D на плоскости называется ориентированной односвязной, если: Она односвязная. 2. Обход границы
- 36. Ориентированная область
- 37. Формула Грина. Если любую область с помощью прямых, параллельных осям X и Y можно разбить на
- 38. - это криволинейный интеграл 2-го рода, который берется по границе области D при положительном направлении обхода.
- 40. Скачать презентацию