Л 6 Элементарные функции

Основные элементарные функции:
а) степенная: y = xn, n∈R;
б) показательная: y = ax, a>0, a≠1;
в) логарифмическая: y = logax, a>0, a≠1;
г) тригонометрические: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = сtgx;
д) обратные тригонометрическим: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcсtgx.
Вопрос № 1. Классификация функций

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических операций (сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в целую степень и извлечения корня) и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными. Пример:
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
.
Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
.
Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные.
Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент под знаком радикала (корня).

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
.
Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные (отношение многочленов).
Пример целой рациональной функции:
Пример дробно-рациональной функции:

Иррациональные функции
.
Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).
Например,

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
.
Трансцендентными (неалгебраическими) называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
.
Замечание. Если вид элементарной функции можно упростить на всей области определения, то классификации подлежит именно упрощенная функция.
Например,
- не иррациональная функция, а рациональная, так как

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
.

Вопрос № 2. Основные элементарные функции. Их свойства и графики.
.
1. Степенные функции
y=xn, n∈N

.
Область определения Х: (–∞, ∞).
Область значений Y:
(–∞, ∞), если п – нечетно;
[0, ∞), если п – четно.
Нечетная, если п – нечетно;
четная, если п – четно.
Возрастает на (–∞, ∞), если п – нечетно;
убывает на (–∞, 0] и возрастает на (0, ∞), если п – четно.
Непериодическая.

.
y=x–n, n∈N

.
Область определения X: (–∞, 0)∪(0,∞).
Область значений Y:
(–∞, 0)∪(0,∞), если п – нечетно;
(0, ∞), если п – четно.
Нечетная, если п – нечетно;
четная, если п – четно.
Убывает на (–∞, 0) и на (0,∞), если п – нечетно; возрастает на (–∞, 0) и убывает на (0, ∞), если п – четно.
Непериодическая.

.
, n∈N, n>1
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

.
Область определения X:
(–∞, ∞), если п – нечетно;
[0, ∞), если п – четно.
Область значений Y:
(–∞, ∞), если п – нечетно;
[0, ∞), если п – четно.
Нечетная, если п – нечетно;
общего вида, если п – четно.
Возрастает на (–∞, ∞), если п – нечетно; возрастает на (0, ∞), если п – четно.
Непериодическая.

2. Показательная функция
.
y=ax, a>0, a≠1

.
Область определения X: (–∞, ∞).
Область значений Y: (0, ∞).
Общего вида.
Возрастает на (–∞, ∞), если a>1;
убывает на (0, ∞), если 0
Непериодическая.

3. Логарифмическая функция
.
y=logax, a>0, a≠1

.
Область определения X: (0, ∞).
Область значений Y: (–∞, ∞).
Общего вида.
Возрастает на (0, ∞), если a>1;
убывает на (0, ∞), если 0
Непериодическая.

4. Тригонометрические функции
.
у = sinx

.
Область определения X: (–∞, ∞).
Область значений Y: [–1, 1].
Нечетная.
Возрастает на
убывает на n∈Z.
Периодическая, период 2π.

.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ y = cosx

.
Область определения X: (–∞, ∞).
Область значений Y: [–1, 1].
Четная.
Возрастает на
убывает на n∈Z.
Период 2π.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ y = tgx
.

.
Область определения X: , n∈Z.
Область значений Y: (–∞, ∞).
Нечетная.
Возрастает на n∈Z.
Период π.

.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ у = сtgx

.
Область определения X: n∈Z.
Область значений Y: [–∞, ∞).
Нечетная.
Убывает на n∈Z.
Период π.

.
5. Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции
.
tgх

.
Области определения обратных тригонометрических функций:
(|x|≤1),
(–∞