Линейная алгебра. Определители

2. Определители
Под определителем (детерминантом) понимают число, соответствующее квадратной матрице любого порядка и вычисленное по определенным правилам.
Обозначают определитель матрицы А:
Δ Δ(А) |A| det A

Пример 1. Вычислить:

Рассмотрим матрицу третьего порядка:

Минором Мij элемента аij матрицы А называется определитель, соответствующий матрице, полученной после вычеркивания i-ой строки и j-го столбца в матрице А.

Аij=(-1)i+jMij
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij , матрицы А называется минор этого элемента, вычисленный по формуле:
Например:

Пример 2. Найти алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы:
Решение:

Определителем третьего порядка называется число, равное сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
Или:

Пример 3. Вычислить:
Решение:

Замечание
При вычислении определителя третьего порядка пользуются правилом Саррюса:
К определителю приписывают два первых столбца: со знаком «+» берутся произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и на прямых, ей параллельной;
Со знаком «-» - произведения трех элементов, стоящих на побочной диагонали и прямых, ей параллельной.

Например:
= 2·9·5 + 1·3·7 + 4·6·8 – 4·9·7 – 2·3·8 – 1·6·5 =
= 90 + 21 + 192 – 252 – 48 – 30 = –27

Этот же способ обычно называют «методом треугольника» и вычисления производят по следующей схеме:
Со знаком «+» Со знаком «-»
(главная диагональ) (побочная диагональ)

Пример 4. Вычислить
Решение.
Δ = 3·6·(-2) + 1·1·0 +5·5·4 - 4·6·0 - 5·1·3 - 5·1·(-2) =
= -36 +100 - 15 +10 = 59.

Определителем п-го порядка называется число, равное сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Свойства определителей
1. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы
det A = det AТ
Таким образом, строки и столбцы определителя равноправны, все дальнейшие свойства справедливы как для строк, так и для столбцов определителя.

2. Перестановка двух соседних строк (столбцов) изменит знак определителя на противоположный.
3. Формула разложения определителя по любой строке (столбцу).
Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

4. Если две строки (столбца) определителя одинаковы, то определитель равен нулю.

5. Если элементы некоторой строки (столбца) умножить на одно и то же число k, то определитель умножится на это число. Другими словами, общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

6. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то он равен нулю.

7. Если элементы некоторой строки (столбца) являются суммой двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, соответствующие строки которых состоят из этих слагаемых:
8. Если элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

9. Алгебраическая сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.
10. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на число k.

Доказательство.
Пусть,
Рассмотрим:

Пример 5. Вычислить
Решение:
К первой строке прибавим третью, умноженную на (-4); ко второй строке прибавим третью, умноженную на (-2); полученный определитель разложим по первому столбцу, тогда:

Далее к первой и третьей строкам прибавим вторую, умноженную на (-2) и разложим по элементам первого столбца.
Получим:

Пример 6. Вычислить
Решение.
Используем теорему Лапласа. Основные миноры образуем из третьей и четвертой строк. Очевидно, что здесь только один минор второго порядка отличен от нуля, остальные равны нулю, дополнительный минор:

Получим:

Пример 7. Вычислить
Решение.
Преобразуем определитель так, чтобы все миноры второго порядка в первых двух строках равнялись нулю. Прибавим к третьему столбцу первый, умноженный на (-4), к четвертому - второй, умноженный на (-2).