Векторная алгебра

Три (и более) вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторы сонаправлены ⬄ угол между ними равен нулю;
противоположно направлены ⬄ угол между ними равен 1800.

Сложение векторов по правилу параллелограмма:
совместить начала суммируемых векторов;
построить на них параллелограм;
построить вектор на диагонали параллелограмма

и направление
вектора , если λ > 0;
вектора , если λ < 0.
Из определения суммы:
Из определения разности:
ПРИМЕР

5.2.Проекция вектора на ось
Векторной проекцией вектора на ось называется вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца исходного вектора на данную ось.
Свойства скалярных проекций:
Проекция вектора на вектор – это проекция вектора
на ось направление которой задает вектор

5.3. Базис
Векторы линейно зависимы (между собой), если какой-либо из них
является линейной комбинацией остальных.
Если вектор представлен в виде линейной комбинации некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Два вектора линейно зависимы ⬄ коллинеарны
Совокупность двух линейно независимых векторов лежащих в одной плоскости называется базисом на этой плоскости
Совокупность любых трех линейно независимых векторов называется базисом в пространстве
Три вектора линейно зависимы ⬄ компланарны

5.4. Декартова прямоугольная система координат
Базис называется ортонормированным, если его вектора единичны и взаимно перпендикулярны:
Плоскости, проходящие через оси координат— координатные плоскости. Пространство делится на восемь октантов

Координатами вектора называются скалярные проекции вектора на оси координат:

Построим прямоугольный параллелепипед со сторонами X; Y; Z и с вершиной в точке О.
Отрезок ОМ – диагональ параллелепипеда.
Квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений

Операции над векторами в декартовой системе координат
По свойствам скалярной проекции вектора на ось получим:
По координатам точек А(ха; уа; zа ) и В (хb; уb; zb) найти координаты вектора
A
B

Найти модуль и орт суммы векторов:
ПРИМЕР