Линейная независимость

1. Определения и примеры
Лемма 1.1:
Пусть S – подмножество векторного пространства V, тогда ∀ v ∈ V,
span S = span( S ∪ {v}) тогда и только тогда, когда v∈ span S
Доказательство ⇒ (необходимость) :
v∈ span( S ∪ {v} ), тогда из того, что span S = span( S ∪ {v} ) → v∈ span S
Доказателство ⇐ (достаточность) :
v∈ span S →
→
QED

Пример 1.2:
Пусть
Тогда
так как
Определение 1.3: Линейная независимость
Подмножество векторного пространства линейно независимо, если ни один из его элементов не является линейной комбинацией других.
В противном случае, множество называется линейно зависимым.

Лемма 1.4: Практический тест для определения ЛН.
есть ЛН т.и т.т.к.
→
Доказательство ⇒ :
Если S есть ЛЗ система, то можно записать
∀ j.
Тогда,
выполняется только при
Доказательство ⇐ (от противного) :
Если S не является ЛН, то ∃ j так что
т.е.
выполняется для cj = −1 ≠ 0.
Рассуждая обратно, заканчиваем доказательство. QED

Пример 1.5: Строки
{ (40 15), (−50 25) } являются ЛН.
Доказательство:
Пусть
→
→
→
→
{ (40 15), (20 7.5) } есть ЛЗ система.
Доказательство:
Пусть
→
→
→

Лемма 1.6: Пустое подмножество является ЛН.
Лемма 1.7: Любое подмножество S содержащее 0, является ЛЗ.
Доказательство:
Теорема 1.8:
Любое конечное подмножество S векторного пространства V содержат ЛН подмножество U с той же линейной оболочкой, что и S.
Доказательство:
Если S ЛН, то берем U = S и все доказано.
Если S ЛЗ, то ∃ sk так что sk = Σj≠k cj sj .
Из леммы 1.1, span S1 = span S, где S1 = S \ {sk} .
Если S1 ЛН, то все доказано.
В противном случае, повторяем процедуру изъятия элементов, пока не достигнем ЛН. QED.
∀ a ∈ F

Лемма 1.9:
Всякое подмножество ЛН множества является также ЛН.
Всякое надмножество ЛЗ множества также является ЛЗ.
Доказательство: Очевидно.