Линейное пространство. N-мерные векторы и действия над ними. Тема 1

Элементы векторной алгебры (матричного анализа).
Векторы

Математика— точная наука в экономике и менеджменте, исследовавшая количественные отношения и экономические формы; более современное понимание: это наука об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории.

Основные понятия
Определение. Вектором называется направленный отрезок а с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе).
Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой либо выделяться жирным шрифтом, например

Определение. Длиной (нормой или модулем )
вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.
Определение. Векторы, лежащие на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными.

Определение. Если начало и конец вектора совпадают, например , то такой вектор называют нулевым и обозначают Длина нулевого вектора равна нулю:
.Поскольку направление нулевого вектора произвольно, то он коллинеарен любому вектору.
Определение.
Произведение вектора на число λ называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с ,
если λ > 0, и противоположно ему,
если λ < 0.

Определение. Противоположным вектором называется произведение вектора
на число (–1), т.е.
Определение. Суммой двух векторов и
называется вектор
направленный из начала вектора в конец вектора (правило треугольника)
Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах
, как на сторонах (правило параллелограмма)

Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, сумма четырех векторов есть вектор
, начало которого совпадает с началом вектора ,а конец – с концом вектора (правило многоугольника)

Определение. Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называются компланарными

Вектор , определенный таким образом, представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах , не лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях (правило параллелепипеда)

Определение. Разностью двух векторов называется сумма вектора и вектора ,
противоположного .

В параллелограмме, построенном на векторах , одна диагональ – вектор – представляет сумму векторов, а другая диагональ – вектор – их разность.

Если перенести вектор параллельно самому себе и поместить его начало с началом координат, то можно сформулировать
Определение. Координатами вектора называются координаты его конца.
Например, координаты вектора
на плоскости Oxy являются два числа x и y ( ),
а в пространстве Oxyz – три
числа x, y, z ( )

Обозначим через , единичные векторы , или орты, совпадающие с положительным направлением осей соответственно Ох, Оу, Оz;
Тогда вектор
может быть представлен в виде
или

Определение. Формула называется разложением вектора по векторам
Векторы , сумма которых равна вектору
, называются компонентами вектора
Отметим, что сумма и разность векторов и
являются соответственно векторы
А произведением вектора на число λ есть вектор

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними:
Определение. Скалярным произведением двух векторов и равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов

Если и угол φ = 0, т.е. cosφ = 1, то скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Расстояние d между двумя точками плоскости и есть длина вектора
Угол между векторами и определяется формулой

Условие перпендикулярности или ортогональности двух векторов
и
является равенство нулю их скалярного произведения или
Условие коллинеарности или параллельности двух векторов
и
является

Пример
Даны векторы = (3; –7; 2)и = (9;–3; –5)
Найти:
Вектор ;
Длины векторов и ;
Скалярный квадрат вектора ;
Скалярное произведение векторов
Угол между векторами

Найти векторы

Найти
длины
векторов

Найти скалярный квадрат вектора

Найти скалярное
произведение
векторов

Найти угол между векторами

Определение. Проекцией вектора
на ось l называется величина направленного отрезка
( где ), т.е. число, равное длине отрезка , взятое со знаком «+», если
направление совпадает с направлением оси l, и со знаком «-», если эти направления противоположны.

Определение. Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов α, β, γ, образуемых вектором с осями
координат. Угол α – угол
между вектором
и единичным вектором
(ортом) . По формуле
(аналогично определяются соsβ и соs γ)
или
При этом

Понятие n-мерного пространства
Определение. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записанных в виде x=(x1,x2,…,xn), где xi – i-я компонента вектора.
Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике.
Пример. Некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором x = (x1,x2,…,xn) , а соответствующие им цены – вектором
y = (y1,y2,…,yn).

Замечание. Компоненты n-мерного вектора обозначают одной буквой, но с разными индексами (в отличие от 2-хмерных или 3-хмерных векторов), а сам вектор – той же буквой (без номеров и стрелки), выделенной жирным шрифтом.
Определение. Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. x = y, если xi = yi (i=1,2,…,n)

Определение. Суммой двух n-мерных векторов называется вектор z = x + y, компоненты которого равны суммам соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. zi = xi + yi (i=1,2,…,n).
Определение. Произведением вектора x на действительное число λ называется вектор
и = λ·x компоненты, которого равны произведению λ на соответствующие компоненты вектора х.

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют свойствам:
x + y = y + x – коммутативный закон;
(x + y) +z = x +(y + z) – ассоциативный закон;
(α·β)·х = α·(β·х) – ассоциативный закон относительно числового множителя;
α· (x + y) = α·х + α·у – дистрибутивный закон относительно суммы векторов;
(α + β) ·х = α·х + β·х – дистрибутивный закон относительно числовых множителей;
существует нулевой вектор Θ =(0, 0, …, 0) такой, что х + Θ= х для любого вектора (закон нулевого вектора);
для любого вектора х существует противоположный вектор (– х) такой, что х + (– х) = Θ;
1·х = х для любого вектора х (особая роль числового множителя 1)

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным восьми законам (аксиомам), называется векторным (линейным) пространством.

Вопросы для самопроверки:
Дайте определение математики как науки. Ее предмет и метод. Как используется математические методы в экономике и менеджменте.
Что такое линейное векторное пространство. Какими свойствами оно обладает?
Дайте определение n- мерного вектора.
Определение действий над векторами и свойства этих операций.
Дайте определение скалярного произведения векторов. Сформулируйте его свойства.