Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Содержание
Взаимное расположение прямых в пространстве
Параллельные прямые в пространстве
Теорема о параллельных прямых
Лемма
Теорема о параллельности трех прямых
Взаимное расположение прямой и плоскостиВзаимное расположение прямой и плоскости Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Определение параллельности прямой и плоскости
Признак параллельности прямой и плоскости
Свойства параллельных плоскостей (1Свойства параллельных плоскостей (1°Свойства параллельных плоскостей (1°)
Свойства параллельных плоскостей (2Свойства параллельных плоскостей (2°Свойства параллельных плоскостей (2°)
Признак скрещивающихсяПризнак скрещивающихся Признак скрещивающихся прямых
Теорема о скрещивающихсяТеорема о скрещивающихся Теорема о скрещивающихся прямых
Теорема об углах с сонаправленными сторонами
Примеры и задачи

Проверка самостоятельной работы
1 вариант
а
M
Р
К
А
№1
№2
А
С
В
D

А
С
В
D
2 вариант
с
d
№1
n
O
№2
Проверка самостоятельной работы

Определите ошибку на рисунке
m
n
q
p
α

а ll b
c ∩ d
Взаимное расположение прямых
в пространстве

Параллельные прямые в пространстве
а
b
α
а ll b
Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых
а
b
α
М
Дано: а, М∉а
Доказать:
1) ∃ b, М∈b, a ll b
2) b – !
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Лемма
a
α
M
b
Дано: а ll b, a ∩ α
Доказать: b ∩ α
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Теорема о параллельности трех прямых
а
Дано: а ll c; b ll c
b
c
К
α

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
α
а
b
β
М
γ
с
с ll γ
b ∩ β
a ⊂ α

Определение параллельных
прямой и плоскости
α
c
с ll α
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Пример

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Признак параллельности прямой
и плоскости
α
a
Дано:
a ⊄ α, b ⊂ α, а ll b
b
Доказать: а ll α

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Свойства параллельности прямой
и плоскости (1°)
α
Дано: a ⊂ β, a ⊄ α,
а ll α, α ∩ β = b
Доказать: а ll b
а
β
b

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
α
Дано: а ll α, а ll b
Доказать: b ll α
или b ⊂ α
а
b
Свойства параллельности прямой и плоскости (2°)

Решите задачу 1
Дано: ∆АВК; АВ ll α; (АВК)∩ α = СD; СK = 8; АВ = 7; АС = 6
Доказать: АВ ll СD
Найти: СD

Решите задачу 2
Дано: ∆АВС; АВ ∩ α = В1; АС ∩ α = С1; ВС ll α;
АВ : ВВ1 = 8 : 3; АС = 16 см
Доказать: ВC ll B1С1
Найти: АС1

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Скрещивающиеся прямые
α
n
m

Признак скрещивающихся прямых
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
D
А
Дано: AB ⊂ α,
CD ∩ α = C, C ∉ AB
В
С
α

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Теорема о скрещивающихся прямых
В
А
Е
С
D
α
Доказать:
1) ∃ α, AB ⊂ α, α ll CD
2) α – !

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
Теорема об углах с сонаправленными сторонами
О
А1
В1
О1
А
В
Дано:
ОА ↑↑ О1А1,
ОВ ↑↑ О1В1
Доказать:
∠АОВ = ∠А1О1В1

Угол между прямыми
α
D
А
В
С
φ
180º-φ
а
b
φ
А1
В1
α

D
С
В
α
β
А
Пространственный
четырехугольник

Пространственный
четырехугольник
D
С
В
М
N
P
Q
α
β
А

α
В
φ
P
А
С
D
Дано: ABCD – параллелограмм,
Р ∉ α, ∠РАВ = φ.
Найти: ∠(АР; CD).
φ
P1
Вариант 1
Вариант 2