Разделение переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. Сферические и шаровые функции Лапласа

При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа.
Функция ψ называется гармонической в области Т, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до второго порядка и удовлетворяют уравнению Лапласа.
Пример - задача, приводящая к уравнению Лапласа - это стационарное тепловое поле.

Если тепловое поле нестационарно, то задачу о температуре такого поля мы уже решали:
Если процесс стационарный, то распределение температуры не меняется с течением времени,и, следовательно, удовлетворяет уравнению Лапласа.
Если есть источник тепла, то
Неоднородное уравнение Лапласа (2) часто называют уравнением Пуассона.

Уравнение Лапласа - уравнение эллиптического типа; Оно может быть одно 1-,2- и трехмерным.
Функция , удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической.
Пусть функция определена в области V, границей которой является замкнутая поверхность S.
Для трехмерного уравнения Лапласа составятся следующие краевые задачи.
1.Задача 1 (задача Дирихле): найти функцию , удовлетворяющую внутри области V уравнению Лапласа (1) и на границе S области V краевому условию
- это известная функция определенная на поверхности S.

2. задача Неймана: найти функцию, удовлетворяющую внутри области в уравнению Лапласа 1 и на границе S области V краевому условию
- нормальная производная функции , то есть производная, взятая по направлению внешней нормали к поверхности S. В текущей точке M(x,y,z); f(x,y,z) - известна функция, определенная на поверхности S.
3. Задача 3. Найти функцию, удовлетворяющую внутри области V уравнению Лапласа (1) и на границе S областью V краевому условию
где h и k - некоторые постоянные; f - известная функция, определенная на поверхности S.

Так как во всех трёх задачах требуется, чтобы искомая функция удовлетворяла уравнению Лапласа внутри области V, то каждая из них называется внутренней краевой задачей.
Также можно сформулировать и внешние краевые задачи для трехмерного 2- и 1- мерного уравнений Лапласа.
Рассмотрим ряд специальных функций, применяемых при решении сформулированных задач.
Решим уравнение Лапласа (1) в сферических координатах для краевой задачи Дирихле.
Общее выражение для уравнения Лапласа в сферических координатах имеет вид:

Решение ищем в виде метода Фурье (разделения переменных) в сферических координатах для краевой задачи Дирихле:
Перепишем (1) в виде:
Подставляя (2) в получим следующее тождество:

Тогда для R(r) и получаем соответствующие уравнения:
где λ - параметр разделения.
Тогда (3) - сферические функции.

Если теперь ограниченные решения (3) находить в классе функций , где , то для функций , получим соответственно:
Уравнения (2), (4) и (5) соответствуют уравнению Лапласа (1), а уравнения (4) и (5) соответствуют также уравнению (3).
Каждое из них является однородным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, причём коэффициенты уравнений (2) и (3) являются переменными.

Уравнение (5), поскольку - периодическая функция, является гармонической, поэтому ,где (имеет решения при целом ).
При этих линейно независимыми решениями уравнения (5) являются функции .
Если в уравнении (4) , где , то получим уравнение
Уравнение (6) называется обобщенным уравнением Лежандра. Если n=0, то (6) перепишется в виде
(7) - уравнение Лежандра

2.Так как нас интересует только угловая часть решения уравнения Лапласа, то запишем его в декартовой системе координат так:
Перейдем к комплексным переменным
В частности удовлетворяет условиям
Ограниченные решения уравнения , обладающие непрерывными до второго порядка производными, называются сферическими функциями.

В сферических координатах:
Тогда
В новых переменных
Тогда уравнение Лапласа
приводится к следующему каноническому виду

Рассмотрим теперь частные решения уравнения (9) в виде однородных полиномов от независимых переменных , то есть в виде полинома где
Тогда общее выражение для полинома с учётом того, что , запишется в виде:
Здесь мы обозначили условную часть полинома через .
.

Подставим полином (10) в уравнении Лапласа в сферических координатах (1):

3.Сравним уравнения (11) и (3).
Они совпадают, если или (12), то есть нужные нам функции представляют собой угловую часть однородных полиномов, являющихся решениями уравнения Лапласа. (Частный случай этих полиномов для найдены выше).
Чтобы получить угловые части, достаточно перейти к сферическим координатам и положить или разделить (3) на .
Частные решения однородного дифференциального уравнения определены с точностью да произвольного постоянного множителя, т.к если есть решение его, то и - тоже решение. Выбор этого множителя называется нормировкой функции .
В квантовой механике условия нормировки определяется физическим смыслом функции, а именно: решение уравнения Шрёдингера (волновая функция ) обязательно должна удовлетворять условию
- комплексно-сопряженная функция; если интегрирование производится по всей области изменения независимых переменных.

Тогда для нашей задачи, решение и кроме того (в сферических координатах), условия записывается в виде
Отсюда получаем, что и
(13),
т.к. значения интегралов по различным независимым переменным никак между собой не связаны. Такая нормировка сферических функций общепринята.
Непрерывные в области , решение уравнения (11) или (3) такие, что .
называются сферическими функциями.

4. Выпишем теперь в явном виде найденные выше сферические функции. Как видно из формулы (10), зависимость от азимутального угла определяется множителем , где -целое число, так как по определению и - целые числа.
Значение чисел и указываются в виде индексов
а) Пусть
Тогда из условия нормировки получаем
Следовательно,

б) Пусть . Тогда
(т.к.
т.к. )
Из условия нормировки
т.к.
. Тогда

Аналогично получается все остальные функции, которые запишем в виде таблицы

Из выше приведённых рассуждений следует, что уравнение (3) для функций имеет решение, если ,
причём для каждого значения имеется линейно независимых решений, соответствующих различным значением числа .
В квантовой механике называется орбитальным квантовым числом, Так как через него выражается момент импульса частицы (например, в атоме).
Конечно, сферические функции применяются и в других разделах физики; тогда и - просто параметры, которые принимают целые значения.

4. Приведем без вывода общую формулу, с помощью которой можно получить сферическую функцию с любыми и :
(14)
Где
Отметим, что из условия нормировки нормировочные положительные множители определяется с точностью до знака (например ), следовательно, / и т.д.). Мы выбрали их так чтобы