Разделение переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. Сферические и шаровые функции Лапласа
Содержание
- 2. При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям
- 3. Если тепловое поле нестационарно, то задачу о температуре такого поля мы уже решали: Если процесс стационарный,
- 4. Уравнение Лапласа - уравнение эллиптического типа; Оно может быть одно 1-,2- и трехмерным. Функция , удовлетворяющая
- 5. 2. задача Неймана: найти функцию, удовлетворяющую внутри области в уравнению Лапласа 1 и на границе S
- 6. Так как во всех трёх задачах требуется, чтобы искомая функция удовлетворяла уравнению Лапласа внутри области V,
- 7. Решение ищем в виде метода Фурье (разделения переменных) в сферических координатах для краевой задачи Дирихле: Перепишем
- 8. Тогда для R(r) и получаем соответствующие уравнения: где λ - параметр разделения. Тогда (3) - сферические
- 9. Если теперь ограниченные решения (3) находить в классе функций , где , то для функций ,
- 10. Уравнение (5), поскольку - периодическая функция, является гармонической, поэтому ,где (имеет решения при целом ). При
- 11. 2.Так как нас интересует только угловая часть решения уравнения Лапласа, то запишем его в декартовой системе
- 12. В сферических координатах: Тогда В новых переменных Тогда уравнение Лапласа приводится к следующему каноническому виду
- 13. Рассмотрим теперь частные решения уравнения (9) в виде однородных полиномов от независимых переменных , то есть
- 14. Подставим полином (10) в уравнении Лапласа в сферических координатах (1):
- 15. 3.Сравним уравнения (11) и (3). Они совпадают, если или (12), то есть нужные нам функции представляют
- 16. Тогда для нашей задачи, решение и кроме того (в сферических координатах), условия записывается в виде Отсюда
- 17. 4. Выпишем теперь в явном виде найденные выше сферические функции. Как видно из формулы (10), зависимость
- 18. б) Пусть . Тогда (т.к. т.к. ) Из условия нормировки т.к. . Тогда
- 19. Аналогично получается все остальные функции, которые запишем в виде таблицы
- 20. Из выше приведённых рассуждений следует, что уравнение (3) для функций имеет решение, если , причём для
- 21. 4. Приведем без вывода общую формулу, с помощью которой можно получить сферическую функцию с любыми и
- 23. Скачать презентацию