Логарифм и его свойства (1)

Джон Непер,
изобретатель логарифмов
Определение логарифмов и таблицу их значений впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков.

Примеры использования неравномерности логарифмической зависимости
Акустика — интенсивность звука (децибелы).
Отношение сигнал/шум в радиотехнике и электросвязи.
Астрономия — шкала яркости звёзд.
Химия — активность водородных ионов (pH).
Сейсмология — шкала Рихтера.
Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
История — логарифмическая шкала времени.

Логарифмическая
спираль в природе
Расположение семян на подсолнечнике
Раковина наутилуса

Вычислите:
Определение логарифма числа
Логарифмом числа b>0 по основанию a (a≠1, a>0) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b:

Основное логарифмическое тождество
, где a≠1, a>0, b>0
Вычислите:

При каких значениях х существует логарифм
Х > 3
X< 10
X < 0
X
R
Не существует ни при
каком х

Основные свойства логарифмов
При любом a>0, a≠1 и любых x>0 и y>0 выполнены равенства:
logₐ 1 = 0
logₐ a = 1
logₐ x·y = logₐ x + logₐ y
logₐ = logₐ x - logₐ y
logₐ xᵖ = p·logₐ x, для любого действительного p.

1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
loga (bc) = loga b + loga c
пример:
3
a >0; a ≠ 1; b > 0; c >0.

2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
loga
b
c
= logab – logac,
a >0; a ≠ 1; b > 0; c >0.
пример:
1

3. Логарифм степени с положительным основанием равен показателю степени, умноженному на логарифм основания
log abr = r logab
a > 0; a ≠ 1
b > 0;
r R
1,5
пример:

Исправьте ошибки:

Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Десятичные логарифмы
log10 a = lg a
lg 10 = 1
lg 100 = lg 10² = 2
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10

Натуральный логарифм
logе a = ln a
ln e = 1
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e - иррациональное число, приближенно равное 2,7

Вычислить:
log7 49; log3 1/81; log1/2 8; log4 1;
lg 10000; lg 0,001;
log6 3 + log6 2;
log5 100 – log5 4;
lg 0,18 – lg 180