Математическая статистика

Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистиче­ских данных для решения научных и практических задач.
Ма­тематическая статистика тесно примыкает к теории вероятностей и базируется на ее понятиях.
Однако главным в математической статистике является не распределение случайных величин, а ана­лиз статистических данных и выяснение, какому распределению они соответствуют.

Предположим, что необходимо изучить множество объектов по какому-либо признаку.
Большая совокупность объектов для исследования, называется генеральной сово­купностью.
Для генеральной совокупности можно оп­ределить генеральную среднюю — среднее арифметическое значение всех величин, составляющих эту совокупность.
Учиты­вая большой объем этой совокупности, можно полагать, что гене­ральная средняя равна математическому ожиданию.

Рассеяние значений изучаемого признака генеральной сово­купности от их генеральной средней оценивают генеральной дис­персией, или генеральным сред­ним квадратическим отклонением.

Рассеяние значений изучаемого признака генеральной сово­купности от их генеральной средней оценивают генеральной дис­персией, или генеральным сред­ним квадратическим отклонением.
где N — объем генеральной совокупности.

Часто возникает ситуация, при которой изучить всю генеральную совокупность практически невозможно.
Тогда изучают не всю генеральную совокупность, а только ее часть и по полученным результатам делают вывод о всей генеральной совокупности и ее числовых характеристиках.

Множество объектов, отобранные из генеральной совокупности, называются выборкой, или выборочной совокупностью.
Свойство объектов выборки должно соответствовать свойству объектов генеральной совокупности, или, как принято говорить, выборка должна быть представительной (репрезентативной).
Для дальнейшего изучения значений случайной величины служат числовые характеристики выборки.
Эти характеристики вычисляются по статистическим данным, т.е. данным, полученным в результате наблюдений, поэтому их называют статистическими.

Для дискретной случайной величины X, принимающей конечное число значений, законом распределения в теории вероятностей считается таблица.
Необходимые нам характеристики находятся по следующим формулам

Находятся они по тем же формулам, что и их аналоги, но, как мы уже упоминали, вероятность меняется на ее приближенное значение – относительную частоту.

Указанные характеристики дают хорошее приближение для математического ожидания и дисперсии изучаемой случайной величины.
Однако дисперсия имеет небольшую, но постоянную ошибку (говорят является смещенной оценкой).
Чтобы этого избежать, используют следующие исправленные оценки
Эти формулы называют точечными оценками числовых характеристик.

Пусть мы имеем следующий набор данных.
Отметим, что
величина x представляет измерения диаметра древесного ствола у случайно выбранных деревьев, а
величина y измерения высоты того же дерева в метрах.

Данные измерений очевидно содержат ошибки.
Сюда входят как ошибки измеряющих, так и вытекающие из ограниченной точности приборов, используемых для измерений.
Мы разбиваем имеющиеся данные на несколько интервалов и на каждом интервале усредняем имеющиеся значения.
Это позволяет частично сгладить возможные ошибки. Процесс усреднения заключается в том, что мы рассматриваем сколько данных попало на интервал, но конкретные данные заменяем на их среднее.

Завершая усреднение, выберем представителем каждого интервала его середину
и будем считать, что она встретилась столько раз, сколько данных попало на данный интервал.
В результате получим следующий статистический закон распределения (дискретная таблица распределения частот)

По интервальной таблице распределения частот построим гистограмму и полигон частот.

Вычисление основных характеристик выборки.
Чтобы завершить предварительную обработку данных, по формулам, указанным выше, найдем точечные оценки числовых характеристик

По интервальной таблице распределения частот мы построили гистограмму и полигон частот.
Если получившаяся конструкция похожа на «шапочку» как у графика плотности нормального закона мы выдвинем гипотезу о нормальном законе изучаемой случайной величины и, в дальнейшем, проверим это.
Если не похожа, то мы, используя рассмотренный далее критерий, убедимся в необоснованности предположения о нормальном распределении.

.

После подсчетов получаем таблицу.

.

Результаты вычислений удобно представлять в виде таблицы.

Отыскание интервальных оценок параметров нормального распределения.
Найдём интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности Х.

Сделаем окончательный вывод.
Проведенные исследования показали, что генеральная совокупность случайной величины x, выражающей диаметры ствола деревьев изучаемого лесного массива из которой взята выборка, распределена по нормальному закону, плотность вероятности которого
Среднее значение диаметра ствола деревьев у основания составляет 29,48 сантиметра, причем с вероятностью 0,95 оно лежит в интервале (28,15 ; 30,81),
Среднее отклонение сантиметра.
В основном (68%) значения диаметра ствола деревьев лежат в интервале (22,78 ; 36,18) сантиметра.

.

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
Вернемся к исходным данным - двумерной случайной величине (X;Y).

Для каждой из двух случайных величин X и Y отдельно мы построили интервальные и вариационные ряды, нашли числовые характеристики.

Построим интервальную корреляционную таблицу.
По горизонтали отложим интервалы X, а по вертикали по Y. В ячейки таблицы запишем количество пар (X;Y) , для которых X попадает в интервал (Xi;Xi+1), а Y в интервал (Yi;Yi+1).
Например, первая пара (31,4; 7,64) по X попадает в интервал (29; 33), а по Y в интервал (6,52; 7,82).
Для контроля просуммируем строки и столбцы. Должны получиться интервальные ряды для каждой из двух случайных величин X и Y отдельно.

Получаем интервальную корреляционную таблицу.

Заменив интервалы на их середины, получим вариационную корреляционную таблицу.

В нашем примере

Уравнение линейной регрессии X на Y имеет вид

На одних осях координат построим три графика:
корреляционное поле (пары (X;Y) указанные в задании) – на графике изображаются точками,
график линейной регрессии Y на X – прямая Y(x),
график линейной регрессии X на Y– прямая X(y).

.