Математическая статистика. Формула классической вероятности

Лекция 3

Формула классической вероятности
, где
m – число элементарных исходов, благоприятствующих А;
n – число всех возможных элементарных исходов испытания.
Элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Свойства вероятности
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события А есть число, заключенное между нулем и единицей.

Требования к классической схеме
1) Выбрать множество элементарных исходов
2)Подсчитать число всех элементарных исходов
3)Если вычисляем P(A), подсчитать число благоприятных исходов.

Пример 1
Монету подбрасывают дважды. Построить множество элементарных исходов.

Решение
Если учитывать порядок, то исходов получится четыре
(герб,герб) (решка,решка) (герб,решка) (решка,герб) Все эти исходы равновозможны.

Если порядок не учитывать, то исходы
(решка,герб) и (герб,решка) считают как один. Тогда элементарных исходов будет три
(герб,герб) (решка,решка) (герб,решка)

Гипергеометрическая формула

В случае разбиения исходного множества на два подмножества

N – общее количество элементов
M – количество элементов определенного типа
n – отобранные
m – количество элементов в выборке, связанных с M

Пример 1
В фирме работают 6 женщин и 4 мужчин. Наудачу отобраны 7 человек. Чему равна вероятность, что среди отобранных ровно 3 женщины?
Решение: Имеем N=10; n=7; M=6; m=3.
Тогда

Пример 2
В партии из 6 деталей 3 стандартных. Найти вероятность того, что среди четырех взятых наудачу деталей 2 стандартных.
Решение: Имеем N=6; n=4; M=3; m=2.
Тогда

Покерные комбинации
Пара(2) :Т♠;10♣;К♣;2♦;2♠
Две пары:(2+2) 10♠;10♣;К♣;2♦;2♠
Тройка(3): Т♠;10♣;2♣;2♦;2♠
Стрит(Street): Т♠;10♣;К♣;Д♦;В♥
Флеш(Flush): Т♠;10 ♠;К ♠;2 ♠;2♠
3+2: 10♠;10♣;2♣;2♦;2♠
Каре: 10♠; 2♥;2♣;2♦;2♠
S+F: Т♣;10♣;К♣;Д♣;В♣.

Расчет вероятностей покерных комбинаций
Результат эксперимента – наименования пяти карт, например, (Т♠;10♣;К♣;2♦;2♠).
Число всех исходов

Вероятность пары
Число благоприятных исходов и вероятность пары

Вероятность двух пар
Число благоприятных исходов и вероятность двух пар

Относительная частота
Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.
где m – число появлений события, n – общее число испытаний.

Пример
По цели произвели 32 выстрела, причем было зарегистрировано 15 попаданий. Чему равна относительная частота поражения цели?
Решение: общее число испытаний n=32.
Событие появилось 15 раз, то есть m=15. Тогда W(A)=15/32.

Статистическая вероятность появления события
Относительная частота –приближенное значение вероятности, называемое статистической.

Пример
По данным статистики, относительная частота рождения девочек за некоторый год по месяцам характеризуется следующими числами (начиная с января):
0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек.

Проверка свойств статистической вероятности
1. Если событие достоверно, то
m = n и относительная частота
2. Если событие невозможно, то
m = 0 и, следовательно, относительная частота

Для любого события , и, следовательно, относительная частота
,
т.е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Операции над событиями

Сумма событий
Пусть даны события А и В.
Сумма событий А+В – событие, которое означает, что произошло хотя бы одно из исходных событий.

Разность событий
Разностью двух событий A-B называется событие, состоящее в том, что А произошло, но В не произошло

Произведение событий
Пусть даны события А и В.
Произведение событий АВ – событие, которое означает, что одновременно произошли оба события.

Противоположные события
и
События называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу.

Другими словами:
Событием, противоположным к А, называется событие Ā, состоящее в том, что событие А не произошло.

Примеры
А={идет дождь}
В={идет снег}
АВ={идет дождь и снег}
А+В={идет дождь или снег}

Пример противоположного события
= {попадание в мишень}
= {промах}

Задача 1
Вероятность того, что день будет ясным равна 0,3. Чему равна вероятность, что день будет дождливым?
Решение. ={день ясный}
={день дождливый}
Так как сумма противоположных событий равна 1, то вероятность, что день будет дождливым равна 1- 0,3 = 0,7.

Задача 2
Вероятность не сдать зачет по предмету для некоторого студента равна 0,8. Какова вероятность сдать зачет?

Решение
Обозначим событие A={сдать зачет}. Тогда противоположным событием будет событие Ā={не сдать зачет}.
Так как P(A)+P(Ā)=1, то P(A)=1-P(Ā)
Вероятность P(A)=1-0,8=0,2

Вероятностное пространство

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из совокупности событий, называемых элементарными событиями (элементарными исходами):

Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий ,
а сами элементарные события – точками пространства .

Пример
В урне 4 шара: красный, синий, желтый, зеленый. Наудачу вынимают один шар.
Выпишем множество элементарных исходов
- вынули красный шар
- вынули синий шар
- вынули желтый шар
- вынули зеленый шар

Пространство
Точки этого пространства

Поле событий S
Поле событий – подмножество множества всех подмножеств , замкнутое относительно операций объединения, пересечения, дополнения, содержащее само и пустое подмножество.

Аксиомы вероятностного пространства:
1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р (А). Это число называется вероятностью события А;
2. Вероятность достоверного события равна единице: ;
3. Вероятность наступления суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Вероятностное пространство

Типы пространств
Выделяют два основных типа:
Дискретное вероятностное пространство;
Непрерывное вероятностное пространство.

Дискретное вероятностное пространство
Конечное –
классическая схема;
неклассическая.
Бесконечное.

Непрерывное пространство
Пример.
Случайный эксперимент – измерение роста человека. Случайное событие – произвольное положительное действительное число.

Геометрические вероятности
Геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Это означает выполнение следующих предположений: - поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, - вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L.
Пусть отрезок l - часть отрезка L.
На отрезок L наудачу поставлена точка.

Вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Пример 1
На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х).
Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину,
большую .

Решение.
Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равных части.

Требование задачи будет выполнено, если точка В(х) попадет
на отрезок CD длины .
Искомая вероятность:

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G.
На фигуру G наудачу брошена точка.

Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством:

Пример 2
На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы
которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями.

Решение.
Площадь кольца (фигуры g):

Площадь большого круга (фигуры G):
Искомая вероятность:

Замечание
В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно).
В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места.

Задача о встрече
Два человека договорились встретится в течение часа, причем время ожидания первым относительно второго не превышает 15 минут. Найти вероятность их встречи.

Решение.
Обозначим моменты прихода первого и второго соответственно через x и y. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства:

Введем в рассмотрение прямоугольную систему xOy.

Таким образом,

Задачи

Задача 1
В прямоугольник 5x4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Решение
По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника, то есть

Задача 2
В квадрат со стороной 6 вписан круг. Наудачу в квадрат бросают точку. Найти вероятность, что точка попадет в круг.

Решение
По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади квадрата к площади круга
Площадь квадрата со стороной 6 равна
S=36

Заметим, что радиус вписанного в квадрат круга будет равен половине стороны квадрата, R=3
Площадь круга с радиусом R=3 равна
Тогда вероятность

Вопросы к лекции 3
Напишите гипергеометричекую формулу
Что называют относительной частотой?
Что такое статистическая вероятность?
Сумма событий
Произведение событий
Противоположные события. Пример
Формула вычисления геометрической вероятности