Метод коэффициентов

Мы рассмотрим задачи, в которых нужно узнать изменения объёма или площади поверхности при увеличении (уменьшении) линейных размеров объёмного тела.

Учитываем и запоминаем:
Объёмное тело рассматриваем в трёхмерном пространстве. Значит все изменения с ним происходят по одной из трёх осей: ОХ, ОУ и OZ.

Теорема.
Пусть дан объем исходного многогранника
Vстарый. Пусть также известны числа a, b и c
— коэффициенты растяжения для осей OX,
OY и OZ соответственно.
Тогда объем нового многогранника Vновый рассчитывается по формуле: Vновый = Vстарый · a · b · c
(Если по какой-то оси производится сжатие
многогранника, а не растяжение, то вместо умножения просто пишется деление.)

В задаче:
«Длина основания уменьшена в 2 раза, ширина увеличена в 5 раз, а высота увеличена в 3 раза».
Значит:
По ОХ – сжатие в 2 раза ⇒ a = 2,
по ОУ – растяжение в 5 раз ⇒ b = 5,
по OZ – растяжение в 3 раза ⇒ с = 3.
Следовательно:
Vновый = Vстарый : 2 · 5 · 3= 7,5 Vстарый

Задача.
Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 8 раз, а высоту уменьшить в 4 раза?
Значит:
По ОХ – растяжение в 8 раз ⇒ а = 8,
по ОУ – растяжение в 8 раз ⇒ b = 8,
по OZ – сжатие в 4 раза ⇒ с = 4.
Следовательно:
Vновый = Vстарый · 8 · 8 : 4= 16 Vстарый
Ответ: 16

Обратите внимание:
Растяжение произошло сразу по двум осям. Окружность — фигура двумерная. Поэтому изменение радиуса у фигур вращения (кроме шара!) влечет за собой растяжение сразу «в обе стороны» - по осям ОХ и ОУ.
У шара, при изменении радиуса, сжатие или растяжение происходит сразу по трём осям координат.

№ 1. Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
Найдем отношение объемов
12
Ответ: 9.

№ 1. Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
2 способ
Ответ: 9.
По ОХ –сжатие в 2 раза ⇒ а = 2,
по ОУ – сжатие в 2 раза ⇒ b = 2,
по OZ – растяжение в 3 раза ⇒ c = 3.
Vновый = Vстарый : 2 : 2 · 3 = 12 : 2 : 2·3 = 9

№ 2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?
Ответ выразите в сантиметрах.
16 см
V
h
V
a
a
4a
4a
16
Найдем отношение объемов
Объем жидкости не изменился, т.е. V1=V2
Ответ: 1.

№ 2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?
Ответ выразите в сантиметрах. 2 способ
16 см
V
h
V
a
a
4a
4a
Ответ: 1.
Vновый = Vстарый
hновый= 1
Сторона основания в 4 раза больше
Значит:
По ОХ – растяжение в 4 раза ⇒ а=4,
по ОУ – растяжение в 4 раза ⇒ b = 4,
по OZ – изменений нет.

№ 3
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй.
Решение.
По ОХ – растяжение в 1,5 раз ⇒ а = 1,5,
По ОУ – растяжение в 1,5 раз ⇒ b = 1,5 ,
По OZ – сжатие в 2 раза ⇒ с = 2.
Vновый = Vстарый · 1,5 ·1,5 : 2 = 1,125 Vстарый
Ответ: 1,125

№ 4
Во сколько раз увеличится объём пирамиды, если ее высоту увеличить в пятнадцать раз?
Ответ: 15.
Решение.
Vновый = Vстарый · 15
В данной задаче растяжение в 15 раз только по оси OZ .

№ 5. Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая втрое уже первой. Во сколько раз объём первой коробки больше объёма второй?
Правильная призма, значит, в основании квадрат.
По ОХ –сжатие в 3 раза ⇒ а = 3,
По ОУ – сжатие в 3 раза ⇒ b = 3,
По OZ – растяжение в 4,5 раза ⇒ с= 4,5.
Решение.
Vновый = Vстарый : 3 : 3 · 4,5 = 1,5 Vстарый
Ответ: 1,5.

№ 6. Бетонный шар весит 0,75 т. Сколько будет весить шар, изготовленный из того же материала, если его радиус в 2 раза больше?
Решение.
Шары изготовлены из одного и того же материала.
Следовательно, масса меняется по тому же закону, что и объем.
Ответ: 6.
Vстарый = 0,75;
Растяжение в 2 раза по всем осям ⇒ a = b = c = 2.
Vновый = Vстарый · a3 = 0,75 · 23 = 6

Теорема.
Формула площадей очень похожа на частный случай формулы объемов.
Разница лишь в степени:
Vновый = Vстарый · n³, поскольку объем — это «трехмерная» величина и объем измеряется в кубических метрах (м³);
Sновая = Sстарая · n², поскольку площадь — величина «двумерная» и измеряется в квадратных метрах (м²).
Если все стороны многогранника увеличить в n раз, то
его площадь увеличится в n2 раз: Sновая = Sстарая · n2
Аналогично, если все стороны сжать в n раз, то площадь
уменьшится в n2 раз.

№7
Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его рёбра увеличить в десять раз?
Ответ: 100.
Решение.
Подставляем n = 10 в формулу площади:
Sновая = Sстарая · 102 = 100 · Sстарая
Площадь увеличится в 100 раз.

№ 8. Площадь первой сферы равна 175. Найдите площадь второй сферы, если ее радиус в 5 раз меньше радиуса первой.
Решение.
Sновая = Sстарая : n2 = 175 : 52 = 175 : 25 = 7
Ответ: 7.

№ 9. В пространстве даны два прямых круговых конуса. У второго конуса радиус основания и высота в 3 раза больше, чем у первого. Найдите площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 324 см2.
Решение.
1. n = 3 —растяжение по каждой оси;
2. Sновая = 324 — площадь второго конуса.
Sновая = Sстарая · n2
324 = Sстарая · 9
Sстарая = 324 : 9 = 36
Ответ: 36.