Формальные логические теории

Формальные теории
Построение и истолкование математической теории,
когда каждое понятие более или менее соответствует некоторому явлению окружающей нас действительности, называется содержательным истолкованием теории.
Соответствие законов, связей и отношений объектов формальной модели элементам реального мира называется адекватностью.
Степень адекватности определяет, применимы ли полученные в результате формального вывода результаты к конкретным
проблемам в реальном мире.
Любая формальная теория определяется заданием четырех ее элементов:
алфавита,
множества формул,
множества аксиом,
множества правил вывода

Алфавит, формулы, аксиомы

Правила вывода

Доказательство, вывод

Исчисление высказываний
Логика интересуется прежде всего истинностью или ложностью высказываний. Высказывания могут быть
тождественно истинными,
тождественно ложными,
имеющими переменное значение истинности.
В алфавит исчисления высказываний входят большие латинские буквы (с возможными индексами) для обозначения высказываний. Эти символы будем называть переменными высказываниями.
Все тождественно истинные высказывания с точки зрения математической логики эквивалентны. Это же можно сказать и для тождественно ложных высказываний. Как и булевой алгебре, для тождественно истинного высказывания в формальном логическом исчислении вводится обозначение ”истина” ( или true или T ), а
для тождественно ложного — обозначение ”ложь” (или false или F ). Соответствующие обозначения входят в алфавит логической формальной теории — исчисления высказываний.

Алфавит исчисления высказываний

Множество формул исчисления высказываний
Определение 2.1. Формула исчисления высказываний — это одна из следующих конструкций:
а) переменное высказывание есть формула;
б) если fi и fl есть формулы, то формулами являются также
в) никаких других формул в исчислении высказываний нет.
Итак, если мы не говорим об интерпретации, то формулы исчисления высказываний — это просто последовательности символов, удовлетворяющие определенным правилам записи. Например, слова

Множество формул исчисления высказываний
Формулы исчисления высказываний иначе называются пропозициональными формами, а частный случай формулы — переменные высказывания и константы true, false — пропозициональными переменными и пропозициональными константами соответственно.
Правильные формулы исчисления высказываний будем обозначать маленькими буквами греческого алфавита с возможными индексами.
Задачей логики является определение смысла каждой формулы. Если каждое высказывание в формуле может быть проинтерпретировано как истинное или ложное,
определены правила выполнения операции над соответствующими значениями, то можно вычислить значение каждой формулы для заданных значений переменных высказываний.

Алгебра логики и исчисление высказываний
Аппарат алгебры логики весьма похож на аппарат исчисления высказываний, однако они решают разные задачи:
алгебра логики занимается проблемами двоичного преобразования информации,
логические исчисления (исчисление высказываний и исчисление предикатов) работают с абстракциями, построенными из предложений и рассуждений естественного языка, предназначены для формализации процессов мышления человека.
В формальной логике большую роль играют формулы, принимающие одно и то же значение ”true” для всех значений переменных высказываний, входящих в формулу. Такие формулы называются общезначимыми или тавтологиями.
Формулы, принимающие значение ”false” для всех значений своих аргументов, называются невыполнимыми.

Множество аксиом исчисления высказываний
Множество аксиом исчисления высказываний зададим следующими тремя схемами аксиом:
Аксиомы A1 – A3 записаны только с использованием операций импликации и отрицания. Операции дизъюнкции и конъюнкции в аксиомах отсутствуют. Как мы только что выяснили, можно построить исчисление высказываний и только на основе
операций импликации и отрицания.
Часто в множество операций вводят еще одну операцию — эквивалентность, правила для которой имеют вид:

Множество аксиом исчисления высказываний
Заметим, что исчисление высказываний удовлетворяет требованиям строгости работы с бесконечностью, т.к. в исчислении рассматриваются только конечные наборы символов и конечное число операций между ними, конечное число аксиом и конечное число правил вывода.
Множество аксиом мы можем дополнить еще одной аксиомой:
Определение 2.2. Аксиома, не выводимая из остальных аксиом, называется
независимой от этих аксиом, а система аксиом, в которой ни одна аксиома не выводится из остальных, называется независимой системой аксиом. В противном случае система аксиом называется зависимой.
Можно доказать, что система аксиом A1 — A5 исчисления высказываний независима.

Правила вывода исчисления высказываний

Правила вывода исчисления высказываний

Теорема о дедукции исчисления высказываний

Теорема о дедукции исчисления высказываний

Теорема о дедукции исчисления высказываний

Теорема о дедукции исчисления высказываний

Теорема о дедукции исчисления высказываний

Теорема о дедукции исчисления высказываний

Правило силлогизма