Обоснования асимптотики для системы эллиптических уравнений в случае обратной квазимонотонности

Рассматривается краевая задача для системы двух уравнений второго порядка с разными степенями малого параметра
f и g – достаточно гладкие функции.

u
v
x
g
v1 v2 v3 v
Условие А1:
Условие А2:

Обозначим
Условие А3: Пусть существует - решение уравнения , причем

ОБРАТНАЯ КВАЗИМОНОТОННОСТЬ
Условие A4
всюду в области

Асимптотика
Точка перехода:
Асимптотика решения задачи строится отдельно справа и слева от точки перехода :
где

Условия непрерывности асимптотического разложения v – компоненты решения в точке :
Условия непрерывности производных асимптотических разложений в точке .

Регулярные члены асимптотики
Для функций получается вырожденная система:
Из условий У1 и У2 получаем:

Система уравнений для функций переходного слоя
(1)
(2)

Обоснование асимптотики
Теорема. При выполнении условий A1-A4 для достаточно малого существует решение задачи , для которого функции являются равномерным на [0;1] асимптотическим приближением с точностью порядка
- построенная асимптотика n-ого порядка

Дифференциальные неравенства

Верхние и нижние решения

Определим функции как решения систем
уравнений
где A и B – положительные числа.
Запишем решение системы:
где

Проверка диф.неравенств