Натуральные и целые числа, арифметические действия над ними

1. Арифметические действия
над целыми числами
Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами.
Они обозначаются с помощью десяти знаков (цифр): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Множество N натуральных чисел бесконечно. Оно имеет наименьшее число 1, но не имеет наибольшего.
Все натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют ряд натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … – ряд натуральных чисел N или (Z+)
т.е. N = {1; 2; 3; …n…}.

Для натурального числа п есть противоположное число -п, а для -п противоположное п.
-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, … – ряд отрицательных чисел Z–
Число ноль считают противоположным самому себе.
Совокупность чисел
образует множество всех целых чисел, т.е.
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … – ряд целых чисел Z (Z+ и Z– и 0)

Множества чисел

Над целыми числами устанавливаются действия сложения и умножения, которые обладают следующими основными свойствами:
переместительное свойство сложения: а+b = b+a;
сочетательное свойство сложения:
(а + b) + с = а + (b + с);
переместительное свойство умножения: а · b = b · a;
сочетательное свойство умножения:
(а · b) · с = а · (b · с);
распределительное свойство: (а + b) · с = а с + b с;
свойство нуля при сложении: а + 0 = a;
свойство нуля при умножении: а · 0 = 0;
свойство единицы при умножении: а · 1 = a.

Вычитание и деление определяются как действия, обратные сложению и умножению.
Вычесть из числа а число b - значит найти такое число с, которое при сложении с числом b дает число а, т.е. с = а – b, если с + b = а.
Число с называется разностью чисел а и b.
Для целых чисел вычитание всегда выполнимо и единственно.

Целое число называется чётным, если оно делится нацело на 2, и нечётным, если оно не делится на 2.
Нуль обладает свойствами четного числа.

Деление с остатком.
Для любых чисел а и b (b>0) справедливо утверждение: число а всегда можно представить и притом единственным образом в виде: а = bq + r, где
Число q называется частным, а число r – остатком.
Если r = 0, то а делится на b нацело.
Например: 37 = 5 · 7 + 2.

2. Простые и составные натуральные числа
Пусть а – натуральное число.
Делителем числа а называется натуральное число, на которое число а делится нацело.
Например, число 20 имеет 6 делителей: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Натуральное число а , не равное 1, называется простым, если оно имеет только 2 делителя: 1 и само число а.
Натуральное число а называется составным, если оно имеет более двух делителей.
1 – единственное натуральное число, которое не является ни простым, ни составным.
Т.о., множество натуральных чисел состоит из 1, простых и составных чисел.
Наименьшее простое число – это 2 – единственное четное простое число. Остальные простые числа – нечётные.
Вот первые 20 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73.

Основная теорема арифметики:
Всякое составное натуральное число можно представить в виде произведения простых множителей и притом единственным способом, т.е.
где - различные простые делители составного числа а, - число их повторений в разложении числа а.
Это равенство называется разложением натурального числа а на простые множители.
Например,

3. Признаки делимости чисел.
Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра четная или нуль.
Примеры:
число 52738 делится на 2, т.к. последняя цифра 8 – четная;
7691 не делится на 2, т.к. 1 – цифра нечетная;
1250 делится на 2, т.к. последняя цифра нуль.

Признак делимости на 4: число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4.
Примеры:
Число 31700 делится на 4, т.к. оканчивается двумя нулями;
215634 не делится на 4, т.к. последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
16608 делится на 4, т.к. две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Признак делимости на 8: число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8.
Примеры:
Число 125 000 делится на 8, т.к. оканчивается тремя нулями;
170004 не делится на 8, т.к. последние цифры дают число 4, не делящееся на 8;
111 120 делится на 8, т.к. три последние цифры дают число 120, делящееся на 8.

Признак делимости на 3 (и 9): на 3 (или на 9), делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (или на 9).
Примеры:
Число 17 835 делится на 3 и не делится на 9, т.к. сумма его цифр 1+7+8+3+5=24 делится на 3 и не делится на 9;
106 499 не делится ни на 3, ни на 9, т.к. сумма его цифр 1+0+6+4+9+9=29 не делится ни на 3, ни на 9;
52 632 делится на 3 и 9, т.к. 5+2+6+3+2=18

Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.
Пример:
Число 126 делится на 6, т.к. оно делится и на 2 и на 3.
Признак делимости на 5: на 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5.
Пример:
240 делится на 5;
554 не делится на 5.

Признак делимости на 10, 100, 1000: на 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 – только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 – те, у которых три последние цифры нули.
Примеры:
Число 8200 делится на 10 и на 100;
542 000 делится на 10, 100, 1000.

Признак делимости на 11: на 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.
Примеры:
Число 103 785 делится на 11, т.к. 1+3+8=12 равна сумме 0+7+5=12 .
Число 9 163 627 делится на 11, т.к. 9+6+6+7=28 и 1+3+2=6, разность 28-6=22 делится на 11.
Число 461 025 не делится на 11, т.к. 4+1+2=7 и 6+0+5=11 не равны друг другу, а их разность 11 – 7 = 4 не делится на 11.

Автор: Семёнова Елена Юрьевна
Обозначения

4. Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел.
Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из данных натуральных чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел – НОД.
Если НОД (а, b, …) = 1, то эти числа называются взаимно простыми.

Примеры. Найти НОД чисел:
1) 48 и 36.
Решение:

Примеры. Найти НОД чисел:
2) 28 и 15.
3)

Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных натуральных чисел а, b, … называется наименьшим общим кратным этих чисел – НОК.
Пример.
Основные свойства НОД и НОК:
1) НОД чисел а и b делится на любой их общий делитель.
2)

Упражнения
Разложить на простые множители числа: 6, 18, 36, 49, 150, 1024, 2250, 9555.
Найти НОД и НОК двух чисел:
2 и 4; 9 и 12; 17 и 36; 28 и 42; 144 и 168.
Найти НОД и НОК трех чисел:
4, 6, 8; 15, 18, 21; 16, 24 и 28;
10, 21 и 23; 8, 15 и 19; 56, 70 и 126.
4. Найти НОД и НОК четырех чисел:
2, 8, 9, 70; 4, 16, 32, 64; 15, 16, 36, 100; 40, 60, 100, 150.