Неопределенный интеграл. Способы вычисления

Евдокс Книдский
ок. 408 — ок. 355 год до н. э.
Интегральное исчисление появилось во времена античного периода развития математической науки и началось с метода исчерпывания, который разработан математиками Древней Греции, и представлял собой набор правил, разработанных Евдоксом Книдским. По этим правилам вычисляли площади и объёмы

Лейбниц Готфрид Вильгельм
(1646-1716)
Символ ∫ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa).

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716)
Исаак Ньютон
(1643 – 1727)
Ньютон и Лейбниц
открыли независимо друг от друга факт,
известный под
названием формулы
Ньютона – Лейбница.

Огюстен Луи Коши (1789 – 1857)
Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 1897 )
Работы Коши и Вейерштрасса
подвели итог многовековому развитию интегрального исчисления.

В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики:
М.В. Остроградский
(1801 – 1862)
В.Я. Буняковский
(1804 – 1889)
П.Л. Чебышев
(1821 – 1894)

Первообразная.
Задача дифференциального исчисления: по данной функции найти её производную.
Задача интегрального исчисления: найти функцию, зная её производную.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутка справедливо равенство Fʹ(x)=f(x).

Пример 1. Найти первообразные для функций:

Для всякой ли функции f(x) существует первообразная?
Теорема. Если функция непрерывна на каком- нибудь промежутке, то она имеет на нём первообразную.

Найти первообразную для функции f(x)=4x3.
Т.о. функция f(x)=4x3, х∈R имеет бесконечное множество первообразных.

Теорема.
Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид F(x)+C, где C∈R.
y
x
0
Геометрически:
F(x)+C представляет собой семейство кривых, получаемых из каждой из них параллельным переносом вдоль оси ОУ.
С
интегральная кривая

Пример 2. Найти все первообразные функции f(x)=2x и изобразить их геометрически.
y
x
0
-2
3
-5

Неопределённый интеграл.
Множество всех первообразных F(x)+C функции f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается символом , т.е

- подынтегральная функция
- подынтегральное выражение
- знак неопределённого интеграла
х – переменная интегрирования
F(x)+C – множество всех первообразных
С – постоянная интегрирования
Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием, а раздел математики- интегральным исчислением.

Свойства неопределённого интеграла.
10. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
То есть правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
Равенство
верно, так как

20. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е
30. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.
40. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Таблица интегралов.
В частности:
В частности:

В частности:
В частности:

Основные методы интегрирования.
Метод непосредственного интегрирования.
Непосредственным интегрированием называется такой метод вычисления интегралов, при котором они сводятся к табличным путём применения к ним основных свойств неопределённого интеграла. При этом подынтегральную функцию обычно соответствующим образом преобразуют.

Вычисление интегралов с помощью преобразования подынтегрального выражения к табличной форме и использования свойств неопределенного интеграла называется непосредственным интегрированием.
Вспомогательные сведения

Пример. Используя таблицу и свойства интегралов, найти интегралы.

Пример 7. Вычислить интеграл

Пример 8. Вычислить интеграл

Пример 9. Вычислить интеграл

Пример 10. Вычислить интеграл

Пример 11. Вычислить интеграл

Пример 12. Вычислить интеграл

Пример 13. Вычислить интеграл

Пример 14. Вычислить интеграл

Пример 15. Вычислить интеграл