Непрерывность функций. Точки разрыва

Непрерывность функций.
Точки разрыва
Лекция

Непрерывность
Функция f(x), определенная на множестве Х,
называется непрерывной в точке , если
1)она определена в этой точке,
2) существует и
3)

Равенство 3) можно также записать в виде:
Говорят: «если функция непрерывна в точке x0 , то знак предела и функцию можно поменять местами».

Условие непрерывности
Существование равносильно тому,
что существуют равные друг другу левосторонний и правосторонний пределы функции при , равные к тому же и значению функции в точке, то есть

Непрерывность на множестве
Говорят, что функция непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пусть функция f(x) определена на промежутке [x0 ; x0 + δ) (на промежутке ( x0 – δ; x0] ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 справа (слева), если справедливо равенство
Очевидно, что f(x) непрерывна в точке x0 ⇔ f(x) непрерывна в точке x0 справа и слева.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a; b) если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a; b] если она непрерывна на интервале (a; b) и имеет одностороннюю непрерывность в граничных точках (т.е. непрерывна в точке a справа, в точке b – слева).

Непрерывность
Теперь переформулируем определение непрерывности в других терминах. Обозначим
и назовем его приращением аргумента в точке ,
будем называть приращением функции в точке .

Непрерывность
Теорема. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке, то есть если
Задание. Используя эту теорему, исследовать на непрерывность функцию y=sinx.

Теоремы о непрерывных функциях
Теорема.
Пусть заданные на одном и том же множестве Х функции и непрерывны в точке . Тогда функции
, ,
непрерывны в точке ,если знаменатель не равен нулю в этой точке:
.

Теоремы о непрерывных функциях
Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция
непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке .
Тогда сложная функция
непрерывна в точке .
Теоремы о непрерывных функциях следуют из свойств пределов функций.

Непрерывность элементарных функций
Всевозможные арифметические комбинации простейших элементарных функций, которые рассматривают в школьном курсе алгебры и начал анализа, мы будем называть элементарными функциями. Например,
является элементарной.
Все элементарные функции непрерывны в области определения

Разрывы функций
Дадим теперь классификацию точек разрыва функций. Возможны следующие случаи.
1.Если существуют и
конечны, но не равны друг другу, то точку называют точкой разрыва первого рода. При
этом величину называют
скачком функции в точке .
Если односторонние пределы совпадают, то точка разрыва первого рода называется точкой устранимого разрыва (см. ниже)

Пример
Исследовать на непрерывность функцию
Эта функция может претерпевать разрыв только в точке 0, где происходит переход от одного аналитического выражения к другому, а в остальных точках области определения функция непрерывна.

Пример
Из условия непрерывности следует:
Таким образом, в точке 0 функция претерпевает разрыв 1-го рода со скачком 1.

График функции
На рисунке изображена функция, имеющая разрыв 1-го рода в начале координат.

Разрывы функций
2.Если в точке , но в точке функция либо не определена, либо
, то эта точка разрыва первого рода является точкой устранимого разрыва. Последнее объясняется тем, что если в этом случае доопределить или видоизменить функцию , положив ,
то получится непрерывная в точке функция.

Разрывы функций
3. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода, в частности, точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.
Очевидно, что точки разрыва второго рода - это точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует, например, функция стремится к бесконечности справа или слева. Например, в точке х=1 имеет разрыв 2-го рода.

Пример
Исследуем функцию . Как элементарная функция она всюду непрерывна, кроме точки х=1.
,
Имеем разрыв 2-го рода с бесконечным скачком.
(запись в вычислениях с точки зрения математики не совсем верная, но позволяет лучше понять смысл)

Св Свойства функций, непрерывных на отрезке ойства непрерывных на отрезке функций
Первая теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения различных знаков, т. е.
Тогда существует точка
такая, что

Свойства непрерывных на отрезке ф Свойства функций, непрерывных на отрезке ункций
Проиллюстрируем теорему.
Из рисунка видно, что функция имеет три нуля, то есть три точки, в которых она обращается в нуль.

Свойства непрерывных на отрезке фу Свойства функций, непрерывных на отрезке нкций
Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения . Тогда, каково бы ни было число между числами , найдется точка такая, что
.

Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема Вейерштрасса
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] . Тогда
1) f(x) – ограничена на [a; b] ;
2) f(x) принимает на [a; b] свое наибольшее и наименьшее значения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Значение функции m = f(x1) называется наименьшим, если
m ≤ f(x), ∀x∈D(f).
Значение функции M = f(x2) называется наибольшим, если
M ≥ f(x), ∀x∈D(f).
Замечание. Наименьшее (наибольшее) значение функция может принимать в нескольких точках отрезка.