Obratnye_trigonometricheskie_funktsii (1)

I. Понятие обратной функции
Функция , определенная на промежутке Х, называется обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке промежутка Х.
Функция обратима на
a
b
b
a
Функция не обратима на

Теорема. Если функция строго монотонна на промежутке Х, то она обратима на этом промежутке.
Доказательство.
Пусть функция возрастает на Х, тогда по определению возрастающей функции
т.о. различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, т.е. функция обратима.

Пусть обратимая функция определена на промежутке Х, а областью значений ее является промежуток Y. Поставим в соответствие каждому то единственное значение , при котором . Тогда получим функцию, которая обозначается
и называется обратной по отношению к функции .
Обычно для обратной функции делают переход к привычным обозначениям, т.е. аргумент обозначают буквой х, а значение функции y.
Поэтому вместо пишут
Замечание. Графики взаимообратных функций симметричны относительно прямой

Алгоритм получения обратной функции
1) Убедиться в том, что функция обратима на Х.
2) Из уравнения выразить х через y.
3) В полученном равенстве поменять местами х и y.
Свойства обратной функции
;
Если функция возрастает (убывает) на , то и функция
возрастает (убывает) на ;
3)

Лекция
Обратные
тригонометрические функции

Тест 10 минут
Критерии
Оценка «5» - 5 баллов
Оценка «4» - 4 балла
Оценка «3» - 3 балла
Оценка «2» - 2 и менее баллов

y = arcsin x

y = arcsin x
Область определения ;
,
2) Область значений ;
3) Функция нечетная arcsin x=-arcsin (-x) ;
4) Функция не является периодической ;
5) Функция возрастает на D(y);
6) Точки пересечения с осями: х=0, y=0;
Наибольшее значение при х=1,
наименьшее значение при х=-1;
9) Ассимптот нет ;

y = arccos x

y = arccos x
Область определения ;
,
2) Область значений ;
3) Функция не обладает определенной четностью;
4) Функция не является периодической ;
5) Функция убывает на D(y);
6) Точки пересечения с осями: 1) х=0, ; 2) y=0, x=1
Промежутки знакопостоянства arccos x>0 при
Наибольшее значение при х=-1,
наименьшее значение y=0 при х=-1;
9) Ассимптот нет .

y = arctg x

y = arctg x
Область определения D(y)=R ;
,
2) Область значений ;
4) Функция непериодическая ;
3) Функция нечетная arctg x=-arcctg (-x) ;
5) Функция возрастает на D(y);
6) Точки пересечения с осями: х=0, y=0;
Промежутки знакопостоянства arctg x>0 при
arctg x<0 при
Наибольшего и наименьшего значений не существует ;
9) Горизонтальные асимптоты ;

y = arcctg x

y = arcсtg x
Область определения D(y)=R ;
,
2) Область значений ;
4) Функция непериодическая ;
3) Функция не имеет определенной четности ;
5) Функция убывает на D(y);
6) Точки пересечения с осями: х=0, ;
Промежутки знакопостоянства arcсtg x>0 при ;
Наибольшего и наименьшего значений не существует ;
9) Горизонтальные асимптоты .

Смысловые значения записей arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a
аrcsin a – это угол из промежутка , синус которого равен а.
а

Смысловые значения записей arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a
аrccos a – это угол из промежутка , косинус которого равен а.
а

Смысловые значения записей arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a
аrctg a – это угол из промежутка , тангенс которого равен а.
а

Смысловые значения записей arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a
аrcсtg a – это угол из промежутка , котангенс которого равен а.
а

Основные свойства обратных тригонометрических функций