определение и свойства числ.функции

Если даны числовое множествоХ и правило f, позволяющее каждому элементу х из Х поставить в соответствие определенное число у, то говорят, что задана функция
у= f(х) с областью определения Х.
х – независимая переменная, аргумент
у – зависимая переменная

D( f ) –область определения функции.
Это все значения переменной х, при которых функция имеет смысл.

Е ( f ) – область значений функции.
Это все значения, которые принимает зависимая переменная.

Монотонность функции.
Функция y=f(x) называется возрастающей на множестве Х, если для любых точек х1 и х2 множества Х, таких, что Х1
Функция y=f(x) называется убывающей на множестве Х, если для любых точек х1 и х2 множества Х, таких, что Х1
f(x2 ).

Ограниченность функции.
Функцию у =f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х, если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа, т.е. если существует такое число m,что для любого х выполняется неравенство f(x)>m.

Ограниченность функции.
Функцию у =f(x) называют ограниченной cверху на множестве Х, если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа, т.е. если существует такое число M,что для любого х выполняется неравенство f(x)

Число m называется наименьшим значением функции y=f(x) на множестве Х, если
1).во мн-ве Х существует такая точка х0 , что
f(x0 )=m;
2). Для любого значения х из мн-ва Х выполняется неравенство f(x) ≥f(x0 ), т.е.
f(x) ≥m.
Унаим = m

Число М называется наибольшим значением функции y=f(x) на множестве Х, если
1).во мн-ве Х существует такая точка х0 , что
f(x0 )=М;
2). Для любого значения х из мн-ва Х выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0 ), т.е.
f(x) ≤ М.
Унаиб = М

Полезные утверждения:
1). Если у функции существует унаим , то она ограничена снизу.
2). Если у функции существует унаиб, то она ограничена сверху.
3). Если функция не ограничена снизу, то у нее нет унаим.
4). Если функция не ограничена сверху, то у нее нет унаиб.

Точки экстремума.
Точку х0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х0 ) выполняется неравенство f(x)
Точку х0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х0 ) выполняется неравенство f(x)>f(x0 ).

Экстремумы функции.
Максимум функции – значение функции в точке максимума. (ymax )
Минимум функции – значение функции в точке минимума. (y min)

Непрерывность функции.
Функция непрерывна на промежутке Х, если её график на данном промежутке не имеет точек разрыва.

Выпуклость функции.
стр 73, рис.34

Функцию y=f(x) называют четной на множестве D(y), если:
1. D(y) – симметричное множество;
2. f(-x)=f(x).
График симметричен относительно оси Оу.

Функцию y=f(x) называют нечётной на множестве D(y), если:
1. D(y) – симметричное множество;
2. f(-x)= -f(x).
График симметричен относительно начала координат.

Определить четность функции: