Оптимизация по методу Бокса-Уилсона

Содержание

Слайд 2


Методические указания к лабораторным практикумам по курсам «Информационные технологии в химии

Методические указания к лабораторным практикумам по курсам «Информационные технологии в химии и
и производстве ЭНМ» и «Хемометрика». Сост. А.К.Тарасов – Самара; Самар. гос. техн. ун-т; 2013. -104 кадра. Содержат рекомендации о порядке выполнения лабораторной работы «Оптимизация по методу Бокса-Уилсона» по курсам «Информационные технологии в химии и производстве ЭНМ» (240301) и «Хемометрика» (280700). Методические указания предназначены для студентов специальностей 240301 и 280700 инженерно-технологического факультета.

Слайд 3


Цель работы Целью данной работы является освоение метода оптимизации технологических процессов по

Цель работы Целью данной работы является освоение метода оптимизации технологических процессов по
методу Бокса=Уилсона с применением имитационного эксперимента. Для выполнения данной работы используются файлы таблицы Excel. Данные методические указания представляют из себя комплекс, в котором интегрированы обучающие модули типа презентаций Power Point и файлы-шаблоны Excel, в которых и выполняются упражнения. Запуск обучающих модулей и открытие файлов-шаблонов выполняется с помощью гиперссылок из обучающих модулей. Отчетом по выполненной работе является файл Excel с выполненным упражнением, сохраненный студентом в папке соответствующей группы (D:\Лабораторные занятия\Курс\Группа\...)

Слайд 4

Введение


Поиск оптимальных условий является одной из наиболее распространенных научно-технических задач.

Введение Поиск оптимальных условий является одной из наиболее распространенных научно-технических задач. Процесс
Процесс их решения называется процессом оптимизации.
Задачу оптимизации, решаемую экспериментально на математической основе, называют также планированием эксперимента.
Планирование эксперимента (англ. experimental design techniques) — комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов.
Основная цель планирования эксперимента — достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов.
Планирование эксперимента по Боксу-Уилсону позволяет:
-минимизировать общее число опытов;
-одновременно варьировать всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам — алгоритмам;
-использовать математический аппарат, формирующий многие действия экспериментатора;
-выбрать четкую стратегию для принятия обоснованных решении после каждой серии экспериментов.

Слайд 5

Введение


Данный метод является градиентным, т.е. движение в процессе оптимизации выполняется

Введение Данный метод является градиентным, т.е. движение в процессе оптимизации выполняется по
по градиенту.
Градиент (от лат. gradiens, — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины.
Применительно к оптимизации, градиент – вектор, своим направлением указывающий в факторном пространстве направление наискорейшего возрастания параметра оптимизации.

Слайд 6

1 Основные понятия и определения


Независимые переменные величины, влияющие на протекание

1 Основные понятия и определения Независимые переменные величины, влияющие на протекание процесса,
процесса, принято называть факторами.
Это, например, температура, время, состав реакционной смеси. Эти величины обозначают буквами с индексами х1, х2 и т.д.
Протекание процесса количественно характеризуется результатами эксперимента - одной или несколькими величинами, такими, как коэффициент распределения, степень извлечения и т.д.
Такие величины в теории планирования эксперимента называют функциями отклика и обозначают буквами с индексами y1, y2 и т.д.
Функции отклика зависят от влияющих факторов:

Слайд 7

1 Основные понятия и определения


Геометрический образ, соответствующий функции отклика, называют

1 Основные понятия и определения Геометрический образ, соответствующий функции отклика, называют поверхностью
поверхностью отклика (см. рисунок).

Координатное пространство, по осям которого отложены факторы, называют факторным пространством.

Слайд 8

1 Основные понятия и определения


Рассмотрим некоторые типы поверхностей отклика.
Здесь

1 Основные понятия и определения Рассмотрим некоторые типы поверхностей отклика. Здесь в
в качестве примера функции отклика взята степень чистоты продукта реакции, выраженная в процентах.

На этом рисунке поверхность отклика имеет вид «вершины» и соответствует области значений факторов, где расположен максимум величины y.
Аналогичный вид имеют линии постоянного уровня и в случае минимума функции y. Красными стрелками показаны градиенты в различных местах поверхности отклика.

Слайд 9

1 Основные понятия и определения


Поверхность, изображенная на этом рисунке

1 Основные понятия и определения Поверхность, изображенная на этом рисунке характеризует плавное
характеризует плавное возрастание функции отклика с уменьшением фактора x1 и увеличением x2.
Такую поверхность принято называть «стационарным возвышением».
Красными стрелками показаны градиенты в различных местах поверхности отклика.

Слайд 10

1 Основные понятия и определения


Поверхность, показанная на этом рисунке,

1 Основные понятия и определения Поверхность, показанная на этом рисунке, называется «хребтом».
называется «хребтом».
Его гребень соответствует наибольшим значениям функции отклика.
Аналогично располагаются линии постоянных значений y и в случае «оврага», дно которого соответствует минимальным значениям функции отклика.
Красными стрелками показаны градиенты в различных местах поверхности отклика.

Слайд 11

1 Основные понятия и определения


На этом рисунке изображена поверхность,

1 Основные понятия и определения На этом рисунке изображена поверхность, называемая «седлом».
называемая «седлом».
На двух участках этой поверхности наблюдается возрастание функции отклика, а на двух других – убывание.
Красными стрелками показаны градиенты в различных местах поверхности отклика.

Слайд 12

2 Сущность метода Бокса-Уилсона



Сущность метода оптимизации по Боксу-Уилсону заключается

2 Сущность метода Бокса-Уилсона Сущность метода оптимизации по Боксу-Уилсону заключается в следующем
в следующем
(на примере двухфакторной оптимизации).

1 В факторном пространстве выбирается начальная точка, от которой начинается оптимизация. Ее называют нулевым уровнем.
2 В этой области в точках 1, 2, 3, 4, имеющих координаты X1 и X2, соответствующие условиям (факторам) выполняют эксперименты, в которых определяют значения параметра оптимизации Y для каждого опыта.
Значения параметра оптимизации в этих опытах соответствуют ординате Y точек 1, 2, 3, 4.

Нулевой
уровень

Значение
параметра оптимизации
соответствует
ординате Y

Слайд 13

2 Сущность метода Бокса-Уилсона


3 По этим значениям рассчитывают коэффициенты уравнения,

2 Сущность метода Бокса-Уилсона 3 По этим значениям рассчитывают коэффициенты уравнения, описывающего
описывающего вид поверхности отклика в этой области.
Это уравнение называют уравнением регрессии. Оно является математической моделью участка поверхности отклика. Его коэффициенты выражают собой наклон поверхности (то есть, степень зависимости параметра оптимизации от фактора).

Y=B0 + B1*X1+B2*X2

Слайд 14

2 Сущность метода Бокса-Уилсона


4 По уравнению регрессии рассчитывают направление градиента

2 Сущность метода Бокса-Уилсона 4 По уравнению регрессии рассчитывают направление градиента на
на данном участке поверхности.
5 По направлению градиента выполняется серия опытов, называемая «крутым восхождением» (опыты 5-10).
6 Точка с наилучшим значением параметра оптимизации (в данном примере 9) принимается за оптимум, а ее координаты X1 и X2 –оптимальными условиями.

Оптимум

Слайд 15

3 Принятие решений перед планированием эксперимента



3.1 Выбор области

3 Принятие решений перед планированием эксперимента 3.1 Выбор области эксперимента При выборе
эксперимента
При выборе области эксперимента прежде всего надо оценить границы областей определения факторов. При этом должны учитываться принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах.
Оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже подвергался некоторым исследованиям. Информацию, содержащуюся в результатах предыдущих исследований, будем называть априорной (т. е. полученной до начала эксперимента).
Мы можем использовать априорную информацию для получения представления о параметре оптимизации, о факторах, о наилучших условиях ведения процесса и характере поверхности отклика, т. е. о том, как сильно меняется параметр оптимизации при небольших изменениях значений факторов, а также о кривизне поверхности.

Слайд 16

3 Принятие решений перед планированием эксперимента


3.2 Выбор основного уровня

3 Принятие решений перед планированием эксперимента 3.2 Выбор основного уровня Наилучшим условиям,

Наилучшим условиям, определенным из анализа априорной информации, соответствует комбинация (или несколько комбинаций) уровней факторов.
Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве.
Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента.
Назовем ее основным (нулевым) уровнем. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.
3.3 Интервал варьирования
Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровни фактора.
Другими словами, интервал варьирования — это расстояние на координатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнем.

Слайд 17

3 Принятие решений перед планированием эксперимента


Для упрощения записи условий эксперимента

3 Принятие решений перед планированием эксперимента Для упрощения записи условий эксперимента и
и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал + 1, нижний -1, а основной — нулю.
Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора.
Иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми.
С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения.

Слайд 18

3 Принятие решений перед планированием эксперимента


 
Формулы для нахождения координат нулевой точки

3 Принятие решений перед планированием эксперимента Формулы для нахождения координат нулевой точки
и интервала варьирования в общем виде записываются следующим образом:
Центральные композиционные планы представляют собой наборы точек, расположенные симметрично относительно центра изучаемой области факторного пространства.

Слайд 19

3 Принятие решений перед планированием эксперимента


Все расчеты, начиная от вычисления

3 Принятие решений перед планированием эксперимента Все расчеты, начиная от вычисления коэффициентов
коэффициентов регрессии и кончая исследованием уравнений, было предложено проводить в безразмерной системе координат, которую называют кодированной системой.
Переход от натуральной системы, т. е. системы координат, в которой ставят опыты, к кодированной, можно проиллюстрировать на примере двухфакторного пространства.
Пример
Изучается влияние на выход продукта в условном технологическом процессе (Y, %) двух факторов:
-температуры (Z1, °С) в диапазоне 20—30°С ;
-времени проведения реакции (Z2, мин) 25—35 мин.

Слайд 20

4 Построение плана полного факторного эксперимента 22


На рисунке показана область факторного

4 Построение плана полного факторного эксперимента 22 На рисунке показана область факторного
пространства, подлежащая исследованию, изображенная в натуральной и кодированной системах координат соответственно.
Рис. Исследуемая область в натуральной (а) и кодированной системе координат (б) .
Переход от натуральной системы к кодированной осуществляют посредством переноса начала координат в центр изучаемой области, т. е. в точку с координатами Z01 и Z02 и последующим изменением масштаба

Слайд 21

4 Построение плана полного факторного эксперимента 22


Формула перехода от натуральной

4 Построение плана полного факторного эксперимента 22 Формула перехода от натуральной системы
системы к кодированной имеет следующий вид:

где . j — номер фактора;
Xj — кодированное значение фактора;
Zj— натуральное значение фактора;
ΔZj —интервал варьирования фактора.

Слайд 22

4 Построение плана полного факторного эксперимента 22


Первый этап планирования эксперимента

4 Построение плана полного факторного эксперимента 22 Первый этап планирования эксперимента для
для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях.
В этом случае, если число факторов известно, можно сразу найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов:
N = 2k,
где N — число опытов, k — число факторов, 2 — число уровней.
В общем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).
Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеем полный факторный эксперимент типа 2k.

Слайд 23

4 Построение плана полного факторного эксперимента 22


При проведении ПФЭ зададимся

4 Построение плана полного факторного эксперимента 22 При проведении ПФЭ зададимся условиями,
условиями, приведенными в данной таблице
(план эксперимента).

Слайд 24

5 Построение матрицы планирования эксперимента 22


 
Нетрудно написать все сочетания уровней

5 Построение матрицы планирования эксперимента 22 Нетрудно написать все сочетания уровней в
в эксперименте с двумя факторами.
В планировании эксперимента используются кодированные значения факторов:
+ 1 и -1 (часто для простоты записи единицы опускают).
Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы — значениям факторов.
Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента.

Слайд 25

5 Построение матрицы планирования эксперимента 22


Матрица планирования для двух факторов

5 Построение матрицы планирования эксперимента 22 Матрица планирования для двух факторов приведена
приведена в данной таблице.

Столбцы для записи
результатов параллельных (дублирующих) опытов

Столбец для записи
среднеарифметического значения параметра оптимизации

Столбец для записи
значения дисперсии параметра оптимизации

Слайд 26

5 Построение матрицы планирования эксперимента 22


Рандомизация
Чтобы исключить влияние систематических ошибок,

5 Построение матрицы планирования эксперимента 22 Рандомизация Чтобы исключить влияние систематических ошибок,
вызванных внешними условиями (переменой температуры, сырья, исполнителя и т. д.), рекомендуется использовать прием, называемый рандомизацией.
Он заключается в том, что опыты проводят в случайной последовательности, которая устанавливается с помощью таблицы случайных чисел .

Слайд 27

5 Упражнение 1. Обработка результатов эксперимента 22


 Для изучения алгоритма обработки

5 Упражнение 1. Обработка результатов эксперимента 22 Для изучения алгоритма обработки результатов
результатов полнофакторного эксперимента
откройте файл-шаблон системы MathCAD с соответствующим упражнением.

Ссылка для открытия файла-шаблона упражнения

Слайд 28

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации


Для лучшего понимания процесса оптимизации по Боксу-Уилсону
и

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации Для лучшего понимания процесса оптимизации по Боксу-Уилсону
сознательного выполнения виртуального эксперимента
изучите данный раздел,
в котором наглядно представлен ход процесса оптимизации
с применением графики .

Слайд 29

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации


На данных рисунках представлена графически сущность данного

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации На данных рисунках представлена графически сущность данного
метода, разъясненная в следующих кадрах.
Рассматриваем пример оптимизации условного технологического процесса
по двум факторам – X1 и X2.

Слайд 30

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации



На рисунке слева представлена процедура

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации На рисунке слева представлена процедура оптимизации в
оптимизации в трехмерном пространстве.
X1 и X2 –оптимизирующие факторы, Y – параметр оптимизации.
Поверхность отклика представлена каркасной сеткой, вид ее неизвестен экспериментатору.
На рисунке справа – представление процедуры оптимизации в двумерном факторном
пространстве. Поверхность отклика показана линиями равного уровня, как на топографических картах.

Слайд 31

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.1 Построение плана эксперимента



В факторном

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.1 Построение плана эксперимента В факторном пространстве
пространстве по априорным (доопытным сведениям) выбирается начальная точка, которая называется
центром плана

Слайд 32

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.1 Построение плана эксперимента


Для каждого

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.1 Построение плана эксперимента Для каждого фактора
фактора (X1 и X2) выбирается интервал варьирования, сложение которого со значением центра плана дает для каждого фактора верхний уровень,
а вычитание – нижний уровень фактора.
В точках 1 и 2 значение фактора Х1 на верхнем уровне,
В точках 3 и 4 значение фактора Х1 на нижнем уровне,
В точках 2 и 3 значение фактора Х2 на верхнем уровне,
В точках 1 и 4 значение фактора Х2 на нижнем уровне,

Слайд 33

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.1 Построение плана эксперимента


Координаты каждой

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.1 Построение плана эксперимента Координаты каждой точки
точки (1, 2, 3, 4) в факторном пространстве соответствуют условиям опытов.
Точки 1, 2, 3, 4 образуют план двухфакторного эксперимента.
Затем выполняют опыты в этих условиях (соответствующих точкам 1, 2, 3, 4).

Слайд 34

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели


Полученные в результате

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели Полученные в результате
этих опытов значения параметра оптимизации используют
для расчета коэффициентов корреляционного уравнения, описывающего фрагмент поверхности отклика в области прямоугольника, с вершинами в точках 1, 2, 3, 4.

Слайд 35

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели


Уравнение регрессии

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели Уравнение регрессии имеет
имеет вид
Y= B0 + B1*X1 + B2*X2 + B12*X1*X2.
Коэффициенты при факторах B1 и B2 выражают степень наклона поверхности отклика к оси данного фактора, то есть чувствительность параметра оптимизации к данному фактору.

Слайд 36

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели


Коэффициент B0

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели Коэффициент B0 численно
численно равен значению параметра оптимизации при постановке эксперимента в центре плана.

B0

Слайд 37

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели


Коэффициент B12

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели Коэффициент B12 выражает
выражает степень нелинейности фрагмента поверхности отклика.
На левом рисунке коэффициент B12 незначим (мал или равен 0),
на правом имеет значимую величину (поверхность нелинейна).

Y=B0 + B1*X1+B2*X2

Y=B0 + B1*X1+B2*X2+B12*X1*X2

Слайд 38

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели


На данном

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели На данном рисунке
рисунке корреляционное уравнение фрагмента поверхности отклика имеет значение коэффициента B2 (при факторе X2) близкое к 0 (или равное 0).
Параметр оптимизации не зависит от фактора Х2.
Уравнение регрессии имеет вид Y=B0 + B1*X1

Слайд 39

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели


На данном

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели На данном рисунке
рисунке корреляционное уравнение фрагмента поверхности отклика имеет значение коэффициента B1 при факторе X1 близкое к 0 (или равное 0).
Параметр оптимизации не зависит от фактора Х1.
Уравнение регрессии имеет вид Y=B0 + B2*X2

Слайд 40

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели


На данном

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.2 Получение математической модели На данном рисунке
рисунке фрагмент поверхности отклика имеет
значение коэффициентов B1 и В2 при факторах X1 и Х2 соответственно
близкое к 0 (или равное 0).
Параметр оптимизации не зависит от оптимизирующих факторов Х1 и Х2
в данной подобласти.
Уравнение регрессии имеет вид Y=B0

B

B0

Слайд 41

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.3 Крутое восхождение


Полученная математическая модель позволяет

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.3 Крутое восхождение Полученная математическая модель позволяет
рассчитать направление градиента
(как изменять одновременно два фактора, чтобы результирующее движение в факторном пространстве происходило по градиенту).
Выбирают величину шага для фактора, сильнее влияющего на параметр оптимизации (базового).
Для другого фактора шаг движения рассчитывают по коэффициентам уравнения регрессии.

Градиент

Шаг по фактору Х1
задается
(базовый)

Шаг по фактору Х2
(рассчитывается)

Слайд 42

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.3 Крутое восхождение


Используя значения шага по

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.3 Крутое восхождение Используя значения шага по
каждому фактору рассчитывают условия опытов
крутого восхождения (точки 5, 6, 7, 8, 9, 10).

Опыты крутого восхождения

Слайд 43

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.3 Крутое восхождение


Выполняют опыты в

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.3 Крутое восхождение Выполняют опыты в условиях,
условиях, соответствующих точкам 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Допустим, для каждого опыта получены значения параметра оптимизации,
приведенные на рисунке справа.
Наилучшее значение параметра оптимизации получено в опыте 9.
Координаты этой точки в факторном пространстве можно принять за оптимальные условия.

86

89

85

81

76

71

Слайд 44

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.4 Уточнение положения экстремума


Для проверки

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.4 Уточнение положения экстремума Для проверки истинности
истинности достигнутого экстремума точку, в которой достигнуто лучшее значение параметра оптимизации принимают за центр нового плана эксперимента с уменьшенным интервалом варьирования факторов.

Слайд 45

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.4 Уточнение положения экстремума


Проводят эксперименты

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.4 Уточнение положения экстремума Проводят эксперименты в
в точках нового плана (красные точки), получают новую математическую модель (уравнение регрессии) в подобласти с центром в точке 9.
Если коэффициенты уравнения регрессии будут незначимы, то это свидетельствует о достижении квазистационарной области
(области, в которой параметр оптимизации практически не зависит от значения оптимизирующих факторов.

Слайд 46

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.4 Уточнение положения экстремума


Если коэффициенты уравнения

6 Графическая интерпретация процесса оптимизации 6.4 Уточнение положения экстремума Если коэффициенты уравнения
оказываются значимы, то может быть выполнено новое крутое восхождение для уточнения положения экстремума.

Новое крутое восхождение

Слайд 47

Упражнение 2. Выполнение оптимизации условного технологического процесса по Боксу-Уилсону (полнофакторный эксперимент 22) с

Упражнение 2. Выполнение оптимизации условного технологического процесса по Боксу-Уилсону (полнофакторный эксперимент 22)
применением имитационно-моделирующей программы-тренажера. Перед работой с программой-имитатором изучите технику работы с ней, просмотрев кадры с информацией


 Для запуска программы-имитатора лабораторной работы нажмите на ссылку.
При работе с программой сохраняйте ее периодически в каталоге
D:\Лабораторные работы\Курс\Группа\... , добавив к ее имени свою фамилию.

Ссылка для открытия программы-имитатора

Слайд 48

7.1 Выбор номера варианта


Запустите программу «Метод Бокса-Уилсона»
Введите номер указанного преподавателем

7.1 Выбор номера варианта Запустите программу «Метод Бокса-Уилсона» Введите номер указанного преподавателем варианта.
варианта.

Слайд 49

7.2 Составление плана эксперимента


Для выбранного варианта указываются рекомендованные значения
нулевого уровня

7.2 Составление плана эксперимента Для выбранного варианта указываются рекомендованные значения нулевого уровня
факторов.

При нажатии на эту кнопку можно увидеть
как составляется план эксперимента
для варианта 1, выбранного в качестве примера.

Слайд 50

7.2 Составление плана эксперимента


Пустая таблица плана эксперимента

Заполненная таблица плана эксперимента

Составьте

7.2 Составление плана эксперимента Пустая таблица плана эксперимента Заполненная таблица плана эксперимента
план эксперимента для своего варианта.

Слайд 51

7.2 Составление плана эксперимента


На рисунке справа приведено графическое представление плана

7.2 Составление плана эксперимента На рисунке справа приведено графическое представление плана эксперимента 22.
эксперимента 22.

Слайд 52

7.3 Составление матрицы планирования эксперимента


Пустой шаблон матрицы планирования эксперимента.

Заполненный шаблон

7.3 Составление матрицы планирования эксперимента Пустой шаблон матрицы планирования эксперимента. Заполненный шаблон матрицы планирования эксперимента
матрицы планирования эксперимента

Слайд 53

7.3 Составление матрицы планирования эксперимента


Натуральные значения факторов записываются в матрицу

7.3 Составление матрицы планирования эксперимента Натуральные значения факторов записываются в матрицу в
в соответствие
с кодированными значениями данного фактора.
-1 соответствует нижнему уровню фактора (выделено синим цветом),
1 соответствует верхнему уровню фактора. (выделено красным цветом).
Соответствие столбцов кодированных и натуральных значений факторов
показано стрелками.

Слайд 54

7.4 Выполнение виртуального эксперимента


После составления матрицы планирования выполняют виртуальные опыты

7.4 Выполнение виртуального эксперимента После составления матрицы планирования выполняют виртуальные опыты в

в условиях, указанных в матрице планирования.
Каждая строка в матрице соответствует опыту,
каждый опыт дублируется два раза.

Нажатие на эту кнопку выводит на экран диалоговое окно виртуального эксперимента.

Условия опыта вводят в соответствующие поля

Слайд 55

7.4 Выполнение виртуального эксперимента


Нажатие на кнопки 1 и 2 вызывает

7.4 Выполнение виртуального эксперимента Нажатие на кнопки 1 и 2 вызывает выполнение
выполнение дублирующих опытов
виртуального эксперимента (программа генерирует случайную ошибку).

Полученные значения параметра оптимизации автоматически записываются в соответствующие ячейки матрицы.

Слайд 56

7.4 Выполнение виртуального эксперимента


Выполняют второй опыт.

7.4 Выполнение виртуального эксперимента Выполняют второй опыт.

Слайд 57

7.4 Выполнение виртуального эксперимента


Выполняют третий опыт.

7.4 Выполнение виртуального эксперимента Выполняют третий опыт.

Слайд 58

7.4 Выполнение виртуального эксперимента


Выполняют четвертый опыт.

7.4 Выполнение виртуального эксперимента Выполняют четвертый опыт.

Слайд 59

7.5 Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий)


В этом фрагменте программы наглядно

7.5 Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий) В этом фрагменте программы наглядно показано,
показано,
как рассчитывается критерий Кохрена (максимальная дисперсия делится
на сумму всех дисперсий).

Слайд 60

7.5 Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий)


Для проверки однородности дисперсий нужно вызвать диалоговое

7.5 Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий) Для проверки однородности дисперсий нужно вызвать
окна, нажав на кнопку:

Слайд 61

7.5 Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий)


Для вызова таблицы со значениями критерия

7.5 Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий) Для вызова таблицы со значениями критерия
Кохрена нужно нажать
на кнопку:

Слайд 62

7.5 Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий)


В соответствующие поля нужно ввести расчетное

7.5 Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий) В соответствующие поля нужно ввести расчетное
и табличное
значения критерия Кохрена

Слайд 63

7.5 Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий)


Если расчетное значение критерия Кохрена меньше

7.5 Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий) Если расчетное значение критерия Кохрена меньше
табличного,
то дисперсии считаются однородными (опыты воспроизводимы).

Сделайте нужный вывод
нажмите на соответствующую
кнопку.
Если вывод правильный, появится информационное окно:

Слайд 64

7.5 Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий)


Если расчетное значение критерия Кохрена
больше

7.5 Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий) Если расчетное значение критерия Кохрена больше
табличного, то дисперсии считаются неоднородными (опыты невоспроизводимы).
Следовательно, нужно повторить выполнение опыта,
в котором получилась наибольшая дисперсия, добиваясь меньшей разности между результатами
параллельных опытов.

Слайд 65

7.6 Расчет дисперсии воспроизводимости


Если дисперсии однородны, то затем рассчитывается дисперсия

7.6 Расчет дисперсии воспроизводимости Если дисперсии однородны, то затем рассчитывается дисперсия параметра оптимизации.
параметра оптимизации.

Слайд 66

7.7 Расчет коэффициентов уравнения регрессии


В таблице 4 наглядно показано, как

7.7 Расчет коэффициентов уравнения регрессии В таблице 4 наглядно показано, как рассчитываются
рассчитываются коэффициенты
уравнения регрессии.
Коэффициент уравнения регрессии рассчитывается как среднеарифметическое значение параметров оптимизации для каждого опыта, взятых со знаком, соответствующим кодированному значению фактора в данном опыте.

Слайд 67

7.7 Расчет коэффициентов уравнения регрессии


В таблице 5 приведены полученные значения коэффициентов

7.7 Расчет коэффициентов уравнения регрессии В таблице 5 приведены полученные значения коэффициентов уравнения регрессии
уравнения регрессии

Слайд 68

7.8 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии


Оценить значимость коэффициентов уравнения регрессии

7.8 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии Оценить значимость коэффициентов уравнения регрессии можно
можно
сопоставляя их с ошибкой определения коэффициентов уравнения.
Для этого рассчитывается ошибка определения коэффициентов уравнения (ошибка эксперимента по следующей формуле:

Слайд 69

7.8 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии


Значимость коэффициентов уравнения проверяют с

7.8 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии Значимость коэффициентов уравнения проверяют с помощью
помощью t-критерия, значение которого для 4-х опытов берут из таблицы:

Слайд 70

7.8 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии


Расчетное значение t-критерия для каждого

7.8 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии Расчетное значение t-критерия для каждого фактора
фактора определяют как частное от деления значения коэффициента на ошибку эксперимента.
В таблице 7 приведены значения коэффициентов и расчетные значения
t-критерия для каждого фактора.
Если расчетное значение t-критерия больше табличного, то коэффициент значим.
Для данного примера табличное значение t-критерия равно 2,78,
поэтому все коэффициенты значимы.

Слайд 71

7.8 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии


Y=B0 + B1*X1+B2*X2+B12*X1*X2

Значимость коэффициента при

7.8 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии Y=B0 + B1*X1+B2*X2+B12*X1*X2 Значимость коэффициента при
совместном влиянии факторов означает, что фрагмент поверхности
в области плана эксперимента нелинеен, а градиент поверхности можно рассчитывать только для плоской поверхности
Поэтому обнуляем коэффициент В12.

Слайд 72

7.8 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии


Этап, выполняемый при нажатии на

7.8 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии Этап, выполняемый при нажатии на данную
данную кнопку имеет контролирующий характер.
Нужно ввести количество значимых коэффициентов уравнения регрессии.

Если ответ верный, то появляется сообщение:

Слайд 73

7.8 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии


Далее появляется еще одно сообщение:

7.8 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии Далее появляется еще одно сообщение:

Слайд 74

7.9 Проверка адекватности уравнения регрессии


Так как в уравнении регрессии теперь

7.9 Проверка адекватности уравнения регрессии Так как в уравнении регрессии теперь отсутствует
отсутствует член, учитывающий совместное влияние факторов, то необходима проверить уравнение на адекватность (способность описывать поверхность отклика).
Расчетные значения параметра оптимизации получают, подставляя в уравнение регрессии условия каждого опыта в кодированном виде.
В таблице 9 приведены экспериментальные и расчетные значения параметра оптимизации, а также разности между ними.
Ниже показано, как рассчитывается дисперсия адекватности.

Слайд 75

7.9 Проверка адекватности уравнения регрессии


В этом фрагменте программы представлена процедура

7.9 Проверка адекватности уравнения регрессии В этом фрагменте программы представлена процедура проверки
проверки уравнения на адекватность с помощью критерия Фишера.

Как получено табличное значение критерия Фишера, показано далее.

Слайд 76

7.9 Проверка адекватности уравнения регрессии


При нажатии на эту кнопку открывается

7.9 Проверка адекватности уравнения регрессии При нажатии на эту кнопку открывается диалоговое
диалоговое окно проверки уравнения регрессии на адекватность.

Слайд 77

7.9 Проверка адекватности уравнения регрессии


Если нажать на кнопку подсказка, то

7.9 Проверка адекватности уравнения регрессии Если нажать на кнопку подсказка, то в
в соответствующих полях появятся значения степеней свободы для числителя и знаменателя

Слайд 78

7.9 Проверка адекватности уравнения регрессии


Определенное по таблице значение критерия Фишера

7.9 Проверка адекватности уравнения регрессии Определенное по таблице значение критерия Фишера нужно
нужно ввести в данное поле, затем закрыть окно, нажав ОК.

Слайд 79

7.9 Проверка адекватности уравнения регрессии


Если расчетное значение критерия Фишера меньше

7.9 Проверка адекватности уравнения регрессии Если расчетное значение критерия Фишера меньше табличного,
табличного,
то уравнение адекватно.
В данном примере уравнение регрессии адекватно,
так как F рас = 1,1 < F табл = 224.
Причиной неадекватности чаще всего является слишком большой интервал варьирования.
Если уравнение неадекватно, то использование его коэффициентов для расчета градиента может привести к существенной ошибке в определении направления движения к оптимуму.

Слайд 80

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Для расчета условий опытов крутого восхождения

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Для расчета условий опытов крутого восхождения
сначала выбирают базовый фактор.
За базовый выбирают фактор, у которого произведение коэффициента уравнения на интервал варьирования больше.
В таблице 11 показана процедура выбора базового фактора.

Нужно нажать на кнопку
с номером выбранного базового фактора.
(в данном примере – 1,
т.к. 8,71>5,95)

Если выбор верный,
появится сообщение

Слайд 81

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Ввод коэффициента базового фактора –

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Ввод коэффициента базового фактора – контролирующая
контролирующая процедура. нужно нажать на данную кнопку для открытия диалогового
окна ввода коэффициента.

Если ошибки нет, то появится сообщение:

Слайд 82

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Математическая модель (уравнение регрессии) фрагмента

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Математическая модель (уравнение регрессии) фрагмента поверхности
поверхности отклика (квадрат с вершинами 1,2, 3,4) позволяет рассчитать координаты (условия) опытов крутого восхождения по градиенту.

Опыты крутого восхождения

Слайд 83

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Крутое восхождение выполняется из центра

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Крутое восхождение выполняется из центра плана,
плана,
Поэтому нужно ввести его характеристики из таблицы 1.
Нужно нажать на данную кнопку для появления диалогового окна.

Ввод характеристик плана:

Ввод завершен

Слайд 84

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Шаг крутого восхождения выбирают для

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Шаг крутого восхождения выбирают для базового
базового фактора.
В данном примере мы ищем максимум параметра оптимизации, поэтому знак шага должен быть таким же как у коэффициента при данном факторе.
Величину шага выбирают равной или несколько меньше интервала варьирования.

Градиент

Шаг по фактору Х1
задается
(базовый)

Шаг по фактору Х2
(рассчитывается)

Слайд 85

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Для ввода шага нужно нажать

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Для ввода шага нужно нажать данную
данную кнопку и ввести в поле диалогового окна значение шага.

Ввод значения шага

Ввод
завершен

Слайд 86

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Таблица 13 является планом крутого

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Таблица 13 является планом крутого восхождения.
восхождения.

Натуральные значения 1-го фактора

Натуральные значения 2-го фактора

Кодированные значения 1-го фактора

Кодированные значения 1-го фактора

Расчетные
значения параметра
оптимизации

Экспериментальные
значения параметра
оптимизации

Расчетное значение параметра оптимизации в центре плана называется «мысленным опытом»

Слайд 87

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Для виртуального выполнения опытов крутого

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Для виртуального выполнения опытов крутого восхождения
восхождения нужно нажать эту кнопку.

Диалоговое окно виртуального эксперимента такое же, как при выполнении опытов матрицы планирования.

Слайд 88

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Выполняем опыт №1.

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Выполняем опыт №1.

Слайд 89

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Выполняем опыт №2.

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Выполняем опыт №2.

Слайд 90

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Выполняем опыт №3.

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Выполняем опыт №3.

Слайд 91

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Выполняем опыт №4.

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Выполняем опыт №4.

Слайд 92

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Выполняем опыт №5.

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Выполняем опыт №5.

Слайд 93

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Выполняем опыт №6.

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Выполняем опыт №6.

Слайд 94

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Анализируем результаты крутого восхождения.
Наилучшее значение

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Анализируем результаты крутого восхождения. Наилучшее значение
параметра оптимизации (86.02) получено в опыте №4.
Оптимальные условия:
Фактор 1: 29
Фактор 2: 32.2

Слайд 95

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Для контроля правильности решения нужно

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Для контроля правильности решения нужно нажать
нажать на данную кнопку.

Введите результаты крутого восхождения в поля диалогового окна.

Слайд 96

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика


Если решение верное, оно фиксируется

7.10 Крутое восхождение по поверхности отклика Если решение верное, оно фиксируется в
в таблице «Оптимальные условия»:

На графиках наглядно показывается ход крутого восхождения по каждому фактору:

Слайд 97

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума


Для получения инструкции о проверке истинности

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума Для получения инструкции о проверке истинности достигнутого
достигнутого экстремума нужно нажать на данную кнопку:

Внимательно изучите эту информацию:

Слайд 98

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума


Нужно составить новый план эксперимента с

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума Нужно составить новый план эксперимента с центром
центром в точке факторного пространства, в которой получено наилучшее значение параметра оптимизации. Значения факторов округлим до целых значений.

Слайд 99

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума


Составляем новую матрицу планирования эксперимента и

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума Составляем новую матрицу планирования эксперимента и выполняем
выполняем виртуальные эксперименты, как в начале процесса оптимизации.

Слайд 100

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума


Выполняем проверку воспроизводимости опытов (однородности дисперсий).

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума Выполняем проверку воспроизводимости опытов (однородности дисперсий).

Слайд 101

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума


Получены коэффициенты корреляционного уравнения, описывающего поверхность

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума Получены коэффициенты корреляционного уравнения, описывающего поверхность отклика в области достигнутого экстремума.
отклика в области достигнутого экстремума.

Слайд 102

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума


Коэффициенты корреляционного уравнения проверяем на значимость.

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума Коэффициенты корреляционного уравнения проверяем на значимость.

Слайд 103

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума


Принимаем решение о завершении оптимизации.

7.11 Проверка истинности достигнутого оптимума Принимаем решение о завершении оптимизации.

Слайд 104

7 Упражнение 2. Оптимизация по Боксу-Уилсону


 Для запуска программы-имитатора лабораторной работы

7 Упражнение 2. Оптимизация по Боксу-Уилсону Для запуска программы-имитатора лабораторной работы нажмите
нажмите на ссылку.
При работе с программой сохраняйте ее периодически в каталоге
D:\Лабораторные работы\Курс\Группа\... , добавив к ее имени свою фамилию.

Ссылка для открытия программы-имитатора

Имя файла: Оптимизация-по-методу-Бокса-Уилсона.pptx
Количество просмотров: 49
Количество скачиваний: 0