Признак перпендикулярности плоскостей

Определение:
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если какая-либо плос-кость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема
Если плоскость проходит через прямую, перпендикуляр-ную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Работаем вместе!
Рисунок
Дано:
___________________
Доказать:

Проверка работы с формулировкой теоремы
Дано:
α, b⊥α, b⊂β
____________________
Доказать: α⊥β
b
c
М

Работаем в группах!

Доказательство:
Проведем в плоскости α через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскостьγ. Она перпендикулярна прямой с, так как прямая с перпендикулярна прямым а и b. Так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости α и β перпендикулярны. Теорема доказана.

Затребованная помощь I
Шаги:
I.
а) a ⊥ c, a ⊂ α, Μ ∈ a;
б) γ (а, b);
II.
а) γ ⊥ c;
б) a ⊥ b.
Значит, α ⊥ β.

Затребованная помощь II
Обоснование:
I.
а) Через каждую точку прямой на плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
б) Аксиома: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость.
II.
а) По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как с⊥а по построению, а b ⊥ с по определению перпендикулярности прямой и плоскости.
б) По определению перпендикулярности прямой и плоскости.
Вывод. По определению перпендикулярных плоскостей.

Затребованная помощь III
Описание первого этапа
I. Строим третью плоскость γ.
а) a ⊥ c, a ⊂ α, Μ ∈ a (через каждую точку прямой на плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну).
б) γ (а, b) (аксиома: если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость).
b
c
М
а

Затребованная помощь IV
Названия этапов:
I. Строим третью плоскость γ.
II. Доказываем, что γ удовлетворяет признакам, указанным в определении перпендикулярных плоскостей.
Делаем вывод.

Проверка
Шаги Обоснование
I а) a⊥c, a⊂α, Μ∈a
Через каждую точку прямой на плоскости можно провести перпендикулярную ей пря-мую, и только одну.
b
c
М
а
Строим третью плоскость γ.
I.

b
c
М
а
Шаги Обоснование
I б) γ (а, b)
Аксиома: Если две различные пря-мые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость.

Шаги Обоснование
а) γ ⊥ c
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как с ⊥ а по построению, а b ⊥ с по определению перпендикулярности прямой и плоскости.
Доказываем, что γ удовлетворяет призна-кам, указанным в определении перпендикуляр-ных плоскостей.
b
c
М
а
II.

Шаги Обоснование
б) a ⊥ b
По определению перпен-дикулярности прямой и плоскости.
Значит, α ⊥ β
По определению перпендикуляр-
ных плоскостей.
b
c
М
а

Оформление доказательства:
I. Строим плоскость γ:
а) a ⊥ c, a ⊂ α, Μ ∈ a (через каждую точку прямой на плос-кости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну);
б) γ (а, b) (аксиома: если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость).
II. Доказываем, что γ удовлетворяет признакам, указанным в определении перпендикулярных плоскостей:
а) γ ⊥ c (по признаку перпендикулярности прямой и плос-кости, так как с ⊥ а по построению, а b ⊥ с по определению перпендикулярности прямой и плоскости);
б) a ⊥ b (по определению перпендикулярности прямой и плоскости).
Значит, α ⊥ β (по определению перпендикулярных плоскостей).