Основы статистического моделирования

Основы статистического моделирования
Задача математического моделирования состоит в построении математической модели объекта и в количественной оценке её неопределённости.
Решение задачи осуществляется в условиях неполной информации о свойствах моделируемого объекта, характеристиках входного воздействия (входных сигналов) и неопределённости выходного результата. Математическим инструментом решения задачи в этих случаях является теория вероятностей, а подход к решению задачи – статистическим моделированием.
Математические модели
статические
динамические

Статические модели описывают связь между входными и выходными параметрами объекта в стационарном состоянии.
Стационарное состояние – такое условие пребывания объекта, что ни входные, ни выходные параметры не изменяются во времени.
Это соответствует ситуации, когда на вход объекта подаётся постоянное, не изменяющееся во времени воздействие, а значение выходного параметра фиксируется лишь после того, как его величина установится, т.е. перестанет изменяться во времени.
С математической точки зрения статическая модель представляет собой функцию.
Функция - математический объект, который одному или нескольким числам (значениям входных параметров) ставит в соответствие число (или несколько чисел), равное величине выходного параметра (параметров)
Основы статистического моделирования
P = n/N
v0(m1+m2) = v1m1+v2m2

Основы статистического моделирования
Динамические модели связывают вход и выход объекта в переходных состояниях.
Переходное состояние – это такое условие пребывания объекта, когда после воздействия на него каждый момент его текущего состояния зависит от предшествующих состояний, в которых этот объект находился ранее.
На практике - это проявляется как присущие объекту свойства: инерционность, способность «помнить» свои предыдущие состояния и т.д.
Математически динамическая модель представляет собой оператор
Оператор - математический объект, который одной или нескольким функциям времени, задающим изменение во времени входных параметров, ставит в соответствие функцию (или несколько функций) времени, задающих изменение во времени выходного параметра (параметров).
Конкретные математические структуры, реализующие оператор, могут быть различны. Наиболее часто используются дифференциальные уравнения, передаточные функции, корреляционные и спектральные зависимости и т.д.

Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
Многочлен (или полином) от n переменных — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида:
— набор из целых неотрицательных чисел, именуемых мультииндекс,
— число, именуемое коэффициент многочлена, зависящее только от мультииндекса I.

Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вероятностью события А в некотором процессе операции называется
отношение среднего числа единичных операций n, в которых событие А
происходит, к объему массовой операции m:
события А и В несовместны:
Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.
Определения

Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теорема сложения вероятностей для
произвольных событий
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
события А и В несовместны:
Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.
Определения
Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.
Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно
Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, A∪ B) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.
Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, A∩ B) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
∀ {A | Ai ∩ Aj = ∅ }
Полная группа событий - если n событий Аi взаимно несовместны и они вместе исчерпывают все возможные исходы эксперимента.
УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Теорема умножения вероятностей для произвольных событий
P(AB) и P(B A) – условные вероятности: P(AB) – вероятность осуществления события А при условии, что событие В достоверно произошло, а P(B A) – вероятность осуществления события В при условии, что событие А достоверно произошло.
Определение
Обобщение

События А и В называются независимыми (или, по-другому, взаимно-независимыми)
Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Определение
Следствие
Теорема умножения вероятностей для независимых событий
Обобщение
∀ {A, | P(Ai | Aj ) = P(Ai ) }

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
- полная группа. Тогда, если известны условные вероятности осуществления произвольного события В при условии осуществления каждого из событий, составляющих полную группу, можно найти безусловную вероятность осуществления события В:
Задача
Определим полную группу событий. Возьмем в качестве события А1 перенесение из первого ящика во второй таблетки слабительного, а в качестве события А2 – снотворного. Эти события удовлетворяют условиям полной группы. Безусловные вероятности этих событий очевидно равны вероятностям доставания из первого ящика соответственно таблетки слабительного P(A1 ) или снотворного P(A2 ) , поэтому
P(A1 ) = 0,2 и P(A2 ) = 0,8 .
Если произошло событие А1 (т.е. во второй ящик перенесено слабительное), то во втором ящике стало шесть слабительных и четыре снотворных таблеток, и поэтому вероятность осуществления события В (вытаскивания слабительного из второго ящика) будет равна P(B|A1 ) = 0,6 . Аналогично для события А2 (перенесена таблетка снотворного) P(B|A2 )= 0,5
По формуле полной вероятности получим, что вероятность достать слабительное из второго ящика
P(B) = 0,6 ⋅ 0,2 + 0,5 ⋅ 0,8 = 0,52 .
Две медсистры играют на деньги. В двух ящиках лежат таблетки: в первом восемь снотворных и две слабительных, а во втором – четыре снотворных и пять слабительных. Из первого ящика во второй наугад (не глядя) переносится одна таблетка, после чего второй ящик перетряхивается, и из него достается одна таблетка и дается пациенту. Какова вероятность, что он не уснёт?

ФОРМУЛА БАЙЕСА
Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
- эта формула позволяет определять вероятности причин по данному (наступившему) следствию
- полная группа, ∃B | P(B) ≠ 0,
Задача
Известно, что томограф состоит из двух независимо работающих узлов 1- система датчиков и 2- система обработки о отображения информации. Работоспособность каждого из них безусловно необходима для работоспособности прибора в целом. Вероятность безотказной работы первого узла за время наработки на отказ по формуляру равна р1, а второго узла – р2. Прибор работал в течение некоторого времени и отказал. Найти вероятность того, что отказал узел 1, а узел 2 остался работоспособным.

ФОРМУЛА БАЙЕСА
Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Полная группа событий : А1 – оба узла работоспособны, А2 – первый узел отказал, а второй работоспособен, А3 – первый узел работоспособен, а второй отказал, А4 – отказали оба узла. Отказ прибора в целом обозначим через В. Рассчитаем вероятности событий:
априори

Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Основой комбинаторики является базовый принцип подсчета:
Пусть имеется k независимых операций, и при этом i-я операция имеет ni исходов (i меняется от 1 до k). Тогда общее количество N исходов в такой системе будет равно произведению числа исходов всех операций:

Основные комбинаторные схемы
Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
РАЗМЕЩЕНИЕ (arrangement)
Постановка задачи: Существует n объектов. Их необходимо разместить в k мест (k
Решение:
1! = 1 и 0! = 1.
Знаем, что факториал
окончательно

Основные комбинаторные схемы
Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
ПЕРЕСТАНОВКА (permutation)
Постановка задачи: Существует n объектов. Их необходимо разместить в k мест. Причём k=n .
Решение:

Основные комбинаторные схемы
Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
КОМБИНАЦИЯ (combination)
Постановка задачи: Рассчитать сочетание (комбинацию) возможных наборов из k элементов, выбранных из заданного множества, содержащего n различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Основные комбинаторные схемы
Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
КОМБИНАЦИЯ (combination)
Пример
Вы знаете, что в интернете находится 10 сайтов, на которых пишут о том как стать умным, причём по отзывам друзей 4 из них написаны шарлатанами. Если зайти наугад на 4 сайта, то какова вероятность, что
а) среди отобранных сайтов два написаны шарлатанами?
б) среди отобранных сайтов как минимум два написаны шарлатанами?
Вначале найдем общее число способов отобрать 4 сайта из 10 возможных:
Решение
Два шарлатанских сайта из четырех можно вынуть C24 = 6 способами, а две нешарлатанских из шести – C26 = 15. В соответствии с базовым принципом подсчета, число исходов, благоприятствующих событию «а», будет равно: N = 6⋅15 = 90.
Вариант (б) – домашнее задание

СХЕМА И ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Основные комбинаторные схемы
Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Схемой Бернулли называется система из n независимых испытаний, в каждом из которых могут иметь место «успех» или «неудача» с постоянными вероятностями p.
Вероятность того, что число «успехов» μn будет равно некоторому конкретному числу k, равна:
Следствие
Вероятность того, что число «успехов» будет не больше m:
Вероятность того, что число «успехов» будет больше m:

Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ОПИСАНИЕ
Величина, значение которой не может быть предсказано в точности до тех пор, пока не произведен эксперимент, называется недетерминированной.
Определения
Во множестве недетерминированных величин можно выделить подмножество таких величин, обладающих статистической устойчивостью, значение которых можно предсказать в среднем. Такие величины называются случайными.
Исчерпывающим описанием любой случайной величины является функция распределения.
Обозначим через ξ некоторую случайную величину, а через x – произвольное действительное число. Вероятность того, что ξ примет значение, меньшее, чем x, называется функцией распределения вероятностей случайной величины ξ:
Случайной величиной называется такая величина, значение которой нельзя определить заранее, и для которой существует функция распределения.
Переопределение
функция распределения

Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ОПИСАНИЕ
Свойства функции распределения
1. Так как функция распределения представляет собой вероятность, то она изменяется от нуля до единицы: 0 ≤ F(x) ≤ 1.
2. Функция распределения является неубывающей функцией, т.е. из того, что x2 > x1, следует, что F (x1) ≥ F (x2) , что в математической записи выглядит как
x2 > x1 ⇒ F (x2) ≥ F (x1) .
3. Вероятность того, что случайная величина находится в интервале от x1 до x2, равна разности значений функции распределения от этих аргументов:
P{x1 < ξ ≤ x2 = F (x2) − F (x1) .
4. Значение функции распределения в минус бесконечности равно нулю:
F(− ∞) = 0 .
5. Значение функции распределения в плюс бесконечности равно единице:
F(∞) = 1.

Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ОПИСАНИЕ
Для исчерпывающего описания дискретной случайной величины, кроме функции распределения, можно использовать функцию массы.
Функция массы – это перечень значений x1 , x2, …, принимаемых случайной величиной, которым сопоставлены вероятности p1 , p2 ,…, с которыми эти значения принимаются. Функция массы может быть задана при помощи таблицы, формулы и т.д.
Зная функцию массы, можно определить функцию распределения:
Определение
Определение
Дискретной называется такая случайная величина, множество значений которой либо конечно, либо счётно.
Непрерывной называется такая случайная величина, множество значений которой несчётно.

Основы статистического моделирования / Статическое моделирование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ОПИСАНИЕ
Для непрерывных случайных величин также наряду с функцией распределения имеется еще один способ исчерпывающего описания – функция плотности распределения, которая представляет собой производную от функции распределения:
функция плотности распределения
Свойства функции плотности распределения
1. Функция плотности всегда неотрицательна ρ (x) ≥ 0 , что с учетом
(1.29) следует из того, что функция распределения – неубывающая.
2.
3. Вероятность того, что случайная величина находится в интервале
от x1 до x2, равна:
4. Условие нормировки: