параллельность

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве

Планиметрия
Стереометрия
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
aIIb
aIIb

Две прямые в пространстве называются параллельными, если
1) они лежат в одной плоскости и
2) не пересекаются
a
b
Определение

a
b
aIIb
с
Прямые а и с не параллельны
Прямые b и с не параллельны

Две параллельные прямые определяют плоскость.
(определение параллельных прямых)
a
b
Показать (1)

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
a
b
Определение
АВ II СD
FL II n
Отрезок FL параллелен
прямой n
Отрезки АВ и СD параллельны

Q
А
С
В
D
N
M
P
Точки М, N, P и Q – середины отрезков BD, CD, AB и АС.
РMNQP - ?
12 см
14 см

А
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Повторим. ПЛАНИМЕТРИЯ. Аксиома параллельности.
а
b
Аксиома параллельности поможет доказать теорему о параллельных прямых

Теорема
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Повторим. Следствие из аксиомы параллельности.
а
c
b
Это следствие из аксиомы параллельности поможет доказать лемму о параллельных прямых

Лемма
Если одна из двух параллельных прямых
пересекает данную плоскость, то и другая
прямая пересекает данную плоскость.
М
a
?

М
a
Поэтому она пересекает и
параллельную ей прямую b
в некоторой точке N.

Прямые, содержащие стороны АВ и ВС параллелограмма AВСD пересекают плоскость . Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость .
С
А
О
D
Каково взаимное расположение точек О, Р, М, N?
Р
М
N
В

Повторим. Следствие из аксиомы параллельности.
Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

a
b
с
Теорема
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
aIIс, bIIс
Докажем, что aIIb
1) Точка К и прямая а определяют плоскость.
Докажем, что а и b
Лежат в одной плоскости
не пересекаются
2) Используя метод от противного объясните почему прямые а и b не пересекаются.

Дано: АА1 II СС1, АА1 II ВВ1, ВВ1 = СС1
Доказать, что В1С1 = ВС
А
В1
С
А1
В
С1

Дано: А1С1 = АС, А1С1 II АС, А1В1 = АВ,
А1В1 II АВ
Доказать, что CС1 = ВB1
А
В1
С
А1
В
С1
Проверка

А
В
С
Е
F
K
M
Треугольник АВС и квадрат АEFC не лежат в одной
плоскости. Точки К и М – середины отрезков АВ и ВС соответственно. Докажите, что КМ II EF.
Найдите КМ, если АЕ=8см.
8см

А
В
С
С
D
K
M
Квадрат АВСD и трапеция KMNL не лежат в одной
плоскости. Точки A и D – середины отрезков KM и NL соответственно. Докажите, что КL II BC.
Найдите BC, если KL=10см, MN= 6 см.
N
L
10см
6 см