Пирамида. Элементы пирамиды. Виды пирамид

ЧТО ТАКОЕ ПИРАМИДА?
Первые определения этому понятию давали:
Евклид Телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся к одной точке(вершине)
Герон Фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник
Учебники XIXв. Телесный угол, пересечённый плоскостью
Тейлор Многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке
Лежандр Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся по различным сторонам плоского основания

Понятие пирамиды
Пирамида – это геометрическая фигура, которая состоит из многоугольника, точки,
не лежащей в плоскости многоугольника и всех отрезков, соединяющих эту точку с
точками многоугольника.
Пирамиды бывают 3- угольные, 4-х угольные , n- угольные
ТЕТРАЭДР – это пирамида, основанием которой является треугольник.

Элементы пирамиды.
S – вершина пирамиды.
АВС – основание пирамиды.
АВ, АС, ВС – ребра основания.
SA, SB, SC – боковые ребра.
SAC, SBC, SAB – боковые грани
А, В, С – вершины основания
Условные обозначения
Sб - площадь боковой поверхности пирамиды
Sп – площадь полной поверхности
V – объем пирамиды
H – высота пирамиды
h – апофема правильной пирамиды

Развертка треугольной пирамиды
Формулы
Sб = S1 + S2 + S3 + …
Sn = Sб + Sосн
V = Sосн H
1
3
H – высота пирамиды. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания
.

Это надо знать! Виды пирамид
Пирамида с равными боковыми ребрами или равными углами наклона
боковых ребер к плоскости основания; проекцией вершины пирамиды
является центр описанной около многоугольника окружности.
О – центр описанной окружности. В произвольном
треугольнике R= =

Пирамида с равными углами наклона боковых граней к основанию; проекцией вершины пирамиды является центр вписанной в многоугольник окружности.
В произвольном треугольнике
Р – полупериметр
S – площадь треугольника
r – радиус вписанной окружности
ОМ, ОN, ОК – радиусы окружности; ОМ АС, ОК АВ, ОN СВ

Пирамида с 1 одним боковым ребром, перпендикулярным основанию или пирамида с 2-мя смежными боковыми гранями, перпендикулярными основанию; проекцией вершины пирамиды является вершина основания, принадлежащая этому боковому ребру.

Пирамида с 1й боковой гранью, перпендикулярной основанию; проекцией вершины пирамиды является основание высоты этой боковой грани, проведенной из вершины пирамиды.
Н

Пирамида с 2-мя противолежащими боковыми гранями, перпендикулярными плоскости основания.
SABCD – пирамида
SE - высота
Н
H

Правильная пирамида
Правильная пирамида – это пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник и проекцией вершины пирамиды является центр этого многоугольника.
Апофема правильной пирамиды - это высота боковой грани,
проведенная из вершины пирамиды.
Н
Н
Н
Правильный тетраэдр – это правильная пирамида, у которой все
ребра равны.
n- число углов пр. пирамиды
- плоский угол при вершине
h
b
a

Сечения пирамиды
Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию - это
многоугольник, подобный основанию. Этим сечением пирамида
разбивается на 2 фигуры: пирамиду и усеченную пирамиду.
S
S
О1
А1
О
А
А1
В1
С1
А
В
С
О
О1
Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции
Sтр=
В
В
В
Sб = S1трапеции + S2трапеции + S3трапеции +. . .
Sп = Sб + Sосн + Sсеч

Сечение пирамиды
Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через боковое ребро-
треугольник.
S
А
В
С
Д
Д
S
A
С
Д
Е
В