Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей геометрическим способом

Плоская система сходящихся сил
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся (рис. 2.1).
Необходимо определить равнодействующую системы сходящихся сил (F1; F2; F3;... ...; Fn), п — число сил, входящих в систему.
По следствию из аксиом статики, все силы системы можно переместить вдоль линии действия, и все силы окажутся приложенными в одной точке.

Равнодействующая сходящихся сил.
Равнодействующую двух пересекающихся сил можно определить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я аксиома) (рис. 2.2).

Используя свойства векторной суммы сил, можно получить равнодействующую любой сходящейся системы сил, складывая последовательно силы, входящие в систему. Образуется многоугольник сил (рис. 2.3). Вектор равнодействующей силы соединит начало первого вектора с концом последнего.
При графическом способе определения равнодействующей век-торы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится.
Вектор равнодействующей направлен навстречу векторам сил слагаемых. Такой способ получения равнодействующей называют геометрическим.
Замечание. При вычерчивании многоугольника обращать внимание на параллельность сторон многоугольника соответствующем векторам сил.

Порядок построения многоугольника сил:
Вычертить векторы сил заданной системы в некотором масштабе один за другим так, чтобы конец предыдущего вектора совпадал с началом последующего.
Вектор равнодействующей замыкает полученную ломаную линию; он соединяет начало первого вектора с концом последнего и направлен ему навстречу.
При изменении порядка вычерчивания векторов в многоугольнике меняется вид фигуры. На результат порядок вычерчивания не влияет.

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил. При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.
Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, многоугольник сил этой системы должен быть замкнут.
Если в системе три силы, образуется треугольник сил.

Решение задач на равновесие геометрическим способом
Порядок решения задач:
Определить возможное направление реакций связей.
Вычертить многоугольник сил системы, начиная с известных сил в некотором масштабе. (Многоугольник должен быть замкнут, все векторы-слагаемые направлены в одну сторону по обходу контура.)
Измерить полученные векторы сил и определить их величину, учитывая выбранный масштаб.
Для уточнения решения рекомендуется определить величины, векторов (сторон многоугольника) с помощью геометрических зависимостей.

Пример 1. Груз подвешен на стержнях и находится в равновесии. Определить усилия в стержнях (рис. 2.5, а).
Решение
1. Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики) (рис. 2.5, а).
Определяем возможные направления реакций связей «жесткие стержни».
γ = 1800 – 600 – 450
Усилия направлены вдоль стержней.

2. Освободим точку А от связей, заменив действие связей их реакциями (рис. 2.5, б).
3. Система находится в равновесии. Построим треугольник сил. Построение начнем с известной силы, вычертив вектор F в некотором масштабе.
Из концов вектора F проводим линии, параллельные реакциям и R1 и R2.
Пересекаясь, линии создадут треугольник (рис. 2.5, в). Зная масштаб построений и измерив длину сторон треугольника, можно определить величину реакций в стержнях.

Для более точных расчетов можно воспользоваться геометрическими соотношениями, в частности теоремой синусов: отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла — величина постоянная:
Замечание. Если направление вектора (реакции связи) на заданной схеме и в треугольнике сил не совпало, значит, реакция на схеме должна быть направлена в противоположную сторону.

Пример 2. Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии. Определить усилия в стержнях (рис. 2.6, а).
Решение
1. Нанесем на схему возможные направления усилий, приложенных в точке А. Реакции стержней — вдоль стержней, усилие от каната — вдоль каната от точки А к точке В.
2. Груз находится в равновесии, следовательно, в равновесии находится точка А, в которой пересекаются три силы. Освободим точку А от связей и рассмотрим ее равновесие (рис. 2.6, б).
Замечание. Рассмотрим только силы, приложенные к точке А. Груз растягивает канат силой 45 кН по всей длине, поэтому усилие от каната известно: Тз = 45 кН.

3. Строим треугольник для сил, приложенных в точке А, начиная с известной силы Т3. Стороны треугольника параллельны предполагаемым направлениям сил, приложенных в точке А.
Образовался прямоугольный треугольник (рис. 2.6, е).
4. Неизвестные реакции стержней можно определить из соотношений в прямоугольном треугольнике: