Математика. Лекция 1

Содержание

Слайд 2

Использование математики в медицине

создание растворов требуемой концентрации
расчет дозы и графика приема лекарства
статистическая

Использование математики в медицине создание растворов требуемой концентрации расчет дозы и графика
обработка медицинских данных
доказательная медицина
прогнозирование и планирование в медицине
расчет протезов и имплантов
разработка медицинских приборов
моделирование биологических процессов
изучение структуры макромолекул и т.д.

2

Слайд 3

История создания математического анализа (17 век)

Математический анализ – раздел математики, объединяющий

История создания математического анализа (17 век) Математический анализ – раздел математики, объединяющий
в себе дифференциальное и интегральное исчисление.

3

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Основу математического анализа в конце XVII века заложили Лейбниц и его ученики (Бернулли, Лопиталь).
Они изучают свойства функций и бесконечно малых величин, вводят понятие производной, интеграла и дифференциала.

Слайд 4

История создания математического анализа (18 век)

4

Исаак Ньютон

В 1708 году вспыхнул

История создания математического анализа (18 век) 4 Исаак Ньютон В 1708 году
печально известный спор Лейбница с Ньютоном о научном приоритете открытия дифференциального исчисления, который независимо от него разработал основы математического анализа и использовал производную функции и дифференциальные уравнения

для описания движения планет и решения ряда других задач механики и гидравлики.

Слайд 5

История создания математического анализа (18 век)

5

Леонард Эйлер

Последующее развитие математического анализа

История создания математического анализа (18 век) 5 Леонард Эйлер Последующее развитие математического
связано с именем Эйлера. К его основным достижениям можно отнести использование бесконечно больших величин, нахождение способа разложения функций в бесконечные ряды, он ввел число e ≈ 2.718, мнимую единицу i в теории

комплексных чисел, разработал многочисленные приемы интегрирования, основы теории графов.

Слайд 6

Дальнейшее развитие математического анализа (18-19 века)

6

Вариационное исчисление, поиск экстремума, интерполяция функций;

Дальнейшее развитие математического анализа (18-19 века) 6 Вариационное исчисление, поиск экстремума, интерполяция
определение предела; дифференциальные уравнения в частных производных; преобразование Фурье; теория чисел …

Жозеф Луи Лагранж

Огюстен Луи Коши

Карл Вейерштрасс

Софья Ковалевская

Слайд 7

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

7

Def Дифференциальное исчисление - раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 7 Def Дифференциальное исчисление - раздел математического анализа,
дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

Def Производная функции - это предел отношения приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению ее аргумента.

Слайд 8

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

8

Геометрический смысл производной

Производная функции численно равна тангенсу угла

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 8 Геометрический смысл производной Производная функции численно равна
наклона касательной, проведенной к ее графику в данной точке:

Физический смысл производной функции

Производная функции показывает скорость ее изменения относительно аргумента.

Слайд 9

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

9

Если функция возрастает, то ее производная положительная; в

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 9 Если функция возрастает, то ее производная положительная;
области убывания производная отрицательна, а производная неизменяемой функции равна нулю.
Производная функции y′ = 0 в ее экстремальных и критических точках.

Физический смысл и использование производной

Слайд 10

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

10

Def Дифференциалом функции называют линейную часть ее приращения при бесконечно

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 10 Def Дифференциалом функции называют линейную часть ее
малом приращении аргумента.

Обозначение дифференциала функции y = f (x) :

Дифференциал функции находится как ее производная, умноженная на дифференциал аргумента функции:

где d x – дифференциал аргумента функции (d x = Δ x, при Δ x → 0)

Слайд 11

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

11

Таблица производных простейших функций

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 11 Таблица производных простейших функций

Слайд 12

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

12

Важные частные случаи:

Некоторые полезные формулы:

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 12 Важные частные случаи: Некоторые полезные формулы:

Слайд 13

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

13

Правила дифференцирования

где C – число, а u, v, f,

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 13 Правила дифференцирования где C – число, а
g – некоторые функции

Слайд 14

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

14

Пример нахождения производной сложной функции:

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 14 Пример нахождения производной сложной функции:

Слайд 15

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

15

Пример нахождения производной сложной функции:

I. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 15 Пример нахождения производной сложной функции:

Слайд 16

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

16

Def Первообразной функции f(x) называется некоторая функция  F(x), производная

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 16 Def Первообразной функции f(x) называется некоторая функция
от которой равна исходной функции f(x), т.е.

Например, функция F(x) = x – sinx, является первообразной для функции f(x) = 1 – cosx.
Действительно, F′(x) = (x – sinx)′ = 1 – cosx = f(x).
Но функция F(x) = x – sinx + 5 также есть первообразная исходной функции: F′(x) = (x – sinx + 5)′ = 1 – cosx + 0 = f(x).
Таким образом, любая функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на некоторую постоянную величину.

Слайд 17

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

17

Def Неопределенным интегралом функции называется множество всех ее первообразных.

Обозначение:

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 17 Def Неопределенным интегралом функции называется множество всех
Операция нахождения интеграла некоторой функции называется ее интегрированием. Интегрирование обратно дифференцированию (нахождению дифференциала), т.к.

где f(x) – подынтегральная функция, dx – дифференциал ее аргумента, F(x) – ее первообразная, C = const.

Слайд 18

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

18

Основные правила интегрирования

где A – число, а f и

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 18 Основные правила интегрирования где A – число,
g – некоторые функции.

Обратите внимание на то, что число A должно быть снаружи подынтегральной функции, а не в ее аргументе!
Кроме того, формул для вычисления интегралов, аналогичным формулам «производная от произведения или частного» не существует!

Слайд 19

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

19

Таблица интегралов простейших функций

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 19 Таблица интегралов простейших функций

Слайд 20

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

20

Def Определенным интегралом функции на отрезке называется число, численно равное разности

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 20 Def Определенным интегралом функции на отрезке называется
ее первообразных на концах этого отрезка.

– формула Ньютона-Лейбница

где f(x) – подынтегральная функция, dx – дифференциал ее аргумента, F(x) – ее первообразная; a, b – соответственно верхний и нижний пределы интегрирования.

Обратите внимание, что в формуле Ньютона-Лейбница сначала находится первообразная от верхнего предела интегрирования, а затем от нижнего!

Слайд 21

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

21

Определенный интеграл функции на отрезке численно равен площади

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 21 Определенный интеграл функции на отрезке численно равен
криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции и осью абсцисс, а также вертикальными прямыми, соответствующими пределам интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла

Также определенные интегралы можно использовать для нахождения длин кривых, объемов тел; пути, пройденного телом; работы переменной силы, центра тяжести тела, моментов инерции и т.д.

Слайд 22

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

22

Примеры:

Метод замены переменной (метод подстановки)

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 22 Примеры: Метод замены переменной (метод подстановки)

Слайд 23

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

23

Примеры:

Метод замены переменной (метод подстановки)

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 23 Примеры: Метод замены переменной (метод подстановки)

Слайд 24

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

24

Примеры:

Метод интегрирование по частям

II. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 24 Примеры: Метод интегрирование по частям

Слайд 25

III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

25

Def Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и

III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 25 Def Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее неизвестную
ее производные, т.е. уравнение вида

Наивысшая степень (тип) производной называется порядком дифф. ур-я. Решить ДУ значит найти неизвестную функцию y(x).
Дифференциальные уравнения возникают при решении различных задач физики, биологии, химии, экономики, медицины.
Для решения таких ур-й применяется операция интегрирования.
В общем случае ДУ имеет множество решений, отличающихся на некоторую постоянную величину (общее решение). Если же заданы начальные условия, то можно найти частное решение.

Слайд 26

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

26

1) Свободные колебания грузика на пружине:

Примеры задач, приводящих к ДУ

2)

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 26 1) Свободные колебания грузика на пружине: Примеры задач,
Изменение концентрации вещества в химической реакции:
A + B → C

3) Размножение бактерий (распространение слухов):

Слайд 27

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

27

Метод решения ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными

1) Переносим слагаемые, не содержащие

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 27 Метод решения ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными
производную вправо:
2) Заменяем производную через отношение дифференциалов:
3) Разделяем переменные (множители с y – налево, множители с x – направо):
4) Интегрируем обе части полученного уравнения, находим общее решение:

Слайд 28

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

28

Примеры решения ДУ с разделяющимися переменными

1) Найти общее решение дифференциального

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 28 Примеры решения ДУ с разделяющимися переменными 1) Найти
уравнения

– общее решение в явном виде

Проверка:

Слайд 29

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

29

Примеры решения ДУ с разделяющимися переменными

2) Найти частное решение дифференциального

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 29 Примеры решения ДУ с разделяющимися переменными 2) Найти частное решение дифференциального уравнения
уравнения

Слайд 30

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

30

Примеры решения ДУ с разделяющимися переменными

3) В начальный момент времени

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 30 Примеры решения ДУ с разделяющимися переменными 3) В
в чашке Петри было 10 бактерий. Сколько их станет при поддержании благоприятных условий через 1 час, если деления происходят в среднем через каждые 20 минут.

Данный процесс описывает ДУ
Постоянная деления

Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. За небольшой промежуток времени Δt их количество возрастет на величину

Слайд 31

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

31

Примеры решения ДУ с разделяющимися переменными

Через 1 час (60

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 31 Примеры решения ДУ с разделяющимися переменными Через 1
мин) в чашке Петри будет около бактерий.
Ответ: 200 бактерий.

Слайд 32

ВЫВОДЫ:
рассмотрены основы дифференциального и интегрального исчисления
показаны его некоторые возможности для решения теоретических и

ВЫВОДЫ: рассмотрены основы дифференциального и интегрального исчисления показаны его некоторые возможности для
практических задач.

Литература
Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики.
Тимонюк В.А. Биофизика.
Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика.
Чалий О.В. Медична і біологічна фізика.

Имя файла: Математика.-Лекция-1.pptx
Количество просмотров: 44
Количество скачиваний: 0