Плоскость в пространстве

Содержание

Слайд 2

Общее уравнение плоскости

Если в пространстве фиксирована произвольная декартова система координат Oxyz, то

Общее уравнение плоскости Если в пространстве фиксирована произвольная декартова система координат Oxyz,
всякое уравнение первой степени с тремя переменными x y z определяет относительно этой системы плоскость.

A; B; C; D – некоторые постоянные, причем из чисел A; B; C хотя бы одно отлично от нуля.

(1)

Общее уравнение плоскости

Пусть точка М0(x0; y0; z0) принадлежит плоскости:

(2)

Вычтем из уравнения (1) тождество (2):

(3)

Общее уравнение плоскости

Слайд 3

Общее уравнение плоскости

Произвольная точка М(x; y; z) лежит на плоскости, если ее

Общее уравнение плоскости Произвольная точка М(x; y; z) лежит на плоскости, если
координаты удовлетворяют уравнению (3):

М0

М

Уравнение (3) является условием перпендикулярности двух векторов:

и

Таким образом, точка М лежит в плоскости, если

Нормальный вектор плоскости

Общее уравнение плоскости называется полным, если все коэффициенты А; B; C; D отличны от нуля.

В противном случае уравнение называется неполным.

Слайд 4

Общее уравнение плоскости

1)

Виды неполных уравнений:

2)

3)

4)

5)

Плоскость проходит через точку О.

6)

7)

8)

9)

10)

Общее уравнение плоскости 1) Виды неполных уравнений: 2) 3) 4) 5) Плоскость

Слайд 5

Уравнение плоскости в отрезках

Рассмотрим полное уравнение плоскости:

Уравнение в отрезках используется для построения

Уравнение плоскости в отрезках Рассмотрим полное уравнение плоскости: Уравнение в отрезках используется
плоскости, при этом a, b и с – отрезки, которые отсекает плоскость от осей координат.

Уравнение плоскости в отрезках

a

b

с

Слайд 6

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть точки М1(х1 ; у1 ; z1

Уравнение плоскости, проходящей через три точки Пусть точки М1(х1 ; у1 ;
), М2(х2 ; у2 ; z2 ) и М3(х3 ; у3 ; z3 ) не лежат на одной прямой.

Тогда векторы:

и

не коллинеарны.

М1

М2

М3

М

Точка М(х ; у ; z ) лежит в одной плоскости с точками М1 , М2 и М3 только в том случае, если векторы:

и

компланарны.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Слайд 7

Угол между двумя плоскостями

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями:

Углом между этими

Угол между двумя плоскостями Пусть две плоскости заданы общими уравнениями: Углом между
плоскостями называется угол между нормальными векторами к этим плоскостям.

Слайд 8

Угол между двумя плоскостями

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей аналогичны условию параллельности и

Угол между двумя плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей аналогичны условию параллельности и перпендикулярности нормальных векторов:
перпендикулярности нормальных векторов:

Слайд 9

Расстояние от точки до плоскости

Пусть точка М1(x1; y1; z1) – основание перпендикуляра,

Расстояние от точки до плоскости Пусть точка М1(x1; y1; z1) – основание
опущенного из точки М0(x0; y0; z0) на плоскость

М1

М0

Слайд 10

Пример

Найти длину высоты тетраэдра ABCD , опущенной из точки A.

Координаты вершин: A(1;

Пример Найти длину высоты тетраэдра ABCD , опущенной из точки A. Координаты
1; 1), B(0; 2; 5), C(3; -1; 4), D(4; 2; 1)

Уравнение плоскости BCD:

A

B

С

D

h

Имя файла: Плоскость-в-пространстве.pptx
Количество просмотров: 37
Количество скачиваний: 0