Комплексные числа

Основные понятия
Комплексным числом z называют выражение:
где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, определяемая равенством:
а называется действительной частью числа z,
b – мнимой частью. Их обозначают так:
Если а = 0, то число i b называется чисто мнимым.
Если b = 0, то получается действительное число а.
Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными:

Геометрическое изображение комплексных чисел
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют плоскостью комплексной переменной.
A(a; b)
a
b
Точкам, лежащим на оси OX, соответствуют действительные числа (b = 0), поэтому ось OX называют действительной осью.
Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа (a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Тогда имеют место равенства:
Следовательно, комплексное число z можно представить в виде:
φ
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Аргумент комплексного числа z считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого
r

Действия над комплексными числами
Равенство комплексных чисел.
1
2
Сложение и вычитание комплексных чисел.

Действия над комплексными числами
3
Умножение комплексных чисел.
Сложение и вычитание комплексных чисел, изображенных векторами производится по правилу сложения или вычитания векторов:
z1
z2
z1 + z2
z1 - z2
При любом целом k:

Действия над комплексными числами
На основании этого правила получим:
тогда произведение находится по формуле:
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
Произведение сопряженных комплексных чисел:

Действия над комплексными числами
4
Деление комплексных чисел.
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:

Действия над комплексными числами
Найти произведение и частное комплексных чисел:

Действия над комплексными числами
5
Возведение в степень комплексного числа.
6
Извлечение корня из комплексного числа.

Действия над комплексными числами
Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных значений корня.
Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2π, и , следовательно будут получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными.
Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n значений, так как действительное число – частный случай комплексного числа и может быть представлено в тригонометрической форме:

Действия над комплексными числами
Найти все значения кубического корня из единицы
A
В
С

Показательная форма комплексного числа
Рассмотрим показательную функцию от комплексной переменной z.
Комплексные значения функции w определяются по формуле:
Пример:
(1)

Показательная форма комплексного числа
Если в формуле (1) положим x = 0, то получим:
Эта формула называется формулой Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции.
(2)
Заменим в формуле (2) y на – y:
(3)
Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :