Понятие предела функции

Число А называется пределом функции
у=f(x), при х стремящемся к бесконечности,
если для любого, сколь угодно малого числа
ε>0, найдется такое положительное число
S, что при всех |x|>S, выполняется
неравенство:

При достаточно больших по модулю значениях
х, значения функции f(x) очень мало
отличаются от числа А (меньше, чем на
число ε , каким бы малым оно не было).
смысл определения:

Рассмотрим геометрический смысл этого определения.
Неравенство
равносильно двойному неравенству
что соответствует расположению части графика у=f(x) в полосе шириной 2ε.

Т.е. число А есть предел функции
какой бы узкой она не была.
если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое число S, что при всех
соответствующие ординаты графика функции у=f(x) будут заключены в полосе

Доказать, что
Пример.

Т.е. для любого ε >0 существует число
Такое, что для всех х, таких что |x|>S, выполняется неравенство:
Для любого ε>0
Решение.

Рассмотренное определение предела при x стремящемся к бесконечности предполагает неограниченное возрастание x по абсолютной величине.
Можно сформулировать понятие предела при стремлении x к бесконечности любого знака, т.е. при
Замечание 1.

В случае, когда
неравенство
должно выполняться при всех x таких, что х>s.
В случае, когда
неравенство
должно выполняться при всех x таких, что х<-s.
Перейдем к понятию предела функции в точке.
Рассмотрим некоторую функцию у=f(x). Пусть эта функция задана в некоторой окрестности точки x0, кроме, может быть, самой этой точки.

Число А называется пределом функции
у=f(x), при х→x0, (или в точке x0)
если для любого, сколь угодно малого числа
ε>0, найдется такое положительное число
δ, что при всех |x-x0|< δ, выполняется
неравенство:

При всех значениях х, достаточно близких
к x0, значения функции у=f(x) очень мало
отличаются по абсолютной величине
от числа А (меньше, чем на
число ε, каким бы малым оно не было).
смысл определения:

Неравенство
равносильно двойному неравенству
Аналогично неравенство
равносильно неравенству
Это соответствует расположению части графика
в полосе шириной 2ε и попаданию точки х в δ -окрестность точки x0.

Т.е. число А есть предел функции
при х→x0, если для любого, сколь угодно малого
числа
какой бы узкой она не была.
найдется такая δ–окрестность точки x0, что для всех х≠x0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции
будут заключены в полосе

Доказать, что
Пример.

Пусть ε=0.1
Тогда неравенство
будет выполняться при
Аналогично, при ε=0.01
Неравенство будет выполняться при
Решение.

Т.е. для любого ε >0 неравенство
выполняется при
Т.е. для любого ε >0 существует число
что для всех х, таких что |x-1|<δ, выполняется неравенство:

Определение предела не требует существования функции в самой точке x0, т.к. рассматриваются значения функции в некоторой окрестности точки x0.
Т.е. рассматривая предел
мы предполагаем, что
но не достигает значения x0.
Замечание 2.

переменная x принимает значения только меньше x0 или, наоборот, больше x0, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах соответственно справа и слева:
Если при
Замечание 3.

Определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при
Вместо значений x, удовлетворяющих условию
рассматриваются такие x, что
при
и значения x, такие что
при

Если пределы функции f(x) слева и справа одинаковы и равны А, то существует общий предел этой функции, также равный А:

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Функция f(x) называется бесконечно малой величиной, если при
или при
ее предел равен нулю:
или

Функция
является бесконечно малой величиной при
поскольку
ПРИМЕР.

Если функция f(x) имеет при
или при
предел, равный А, то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой величины
при
или
ТЕОРЕМА

Верна и обратная
Если функцию f(x) можно представить как сумму числа А и бесконечно малой величины
или при
при
или
ТЕОРЕМА
то число А является пределом этой функции при

Свойства бесконечно малых величин
1
Алгебраическая сумма бесконечно
малых величин есть величина
бесконечно малая.

2
Произведение бесконечно малой
величины на ограниченную функцию
есть величина бесконечно малая.
3
Частное от деления бесконечно малой
величины на функцию, предел которой
отличен от нуля, есть величина
бесконечно малая.

Пусть
являются бесконечно малыми величинами при
поскольку
ПРИМЕР.
Функция

является ограниченной на любом промежутке, поскольку
Функция
имеет предел при
Тогда функции

являются бесконечно малыми величинами при

Замечание
Предел отношения двух бесконечно малых величин
может быть равен нулю, тогда α(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(х);
может быть равен числу А, не равному нулю, тогда α(х) и β(х) имеют одинаковый порядок малости;
может быть равен бесконечности, тогда α(х) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(х).

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Функция f(x) называется бесконечно большой величиной, если для любого, даже сколь угодно большого числа
найдется такое число
, что для всех
и удовлетворяющих условию
выполняется неравенство

Если
то
Если
то

Функция
является бесконечно большой величиной при
поскольку
ПРИМЕР.

Замечание
Бесконечно большая величина является неограниченной функцией при
или при
но в то же время неограниченная функция не обязательно бесконечно большая.

Функция
является неограниченной функцией, но при
она не будет бесконечно большой, поскольку ее значения колеблются, переходя от положительных к отрицательным через ноль.
ПРИМЕР.

Свойства бесконечно больших величин
1
Сумма бесконечно большой величины
и ограниченной функции есть величина
бесконечно большая.

2
Произведение бесконечно большой
величины на функцию, предел которой
отличен от нуля, есть величина
бесконечно большая.
3
Частное от деления бесконечно большой
величины на функцию, имеющую предел,
есть величина бесконечно большая.

является бесконечно большой при
Функция
ПРИМЕР.
Функция
имеет предел при

Функция
является ограниченной.
Тогда функции
являются бесконечно большими величинами при

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Пусть f(x) и φ(x) – функции, для которых существуют пределы при
Тогда справедливы следующие теоремы:
или

ТЕОРЕМА 1.
Функция не может иметь более
одного предела.

ТЕОРЕМА 2.
Предел алгебраической суммы
(разности) конечного числа функций
равен сумме (разности) пределов этих
функций:

ТЕОРЕМА 3.
Предел произведения конечного
числа функций равен произведению
пределов этих функций:

Следствие.

ТЕОРЕМА 4.
Предел частного двух функций равен
частному пределов этих функций:

ТЕОРЕМА 5.
Если
и
то предел сложной функции существует и равен

Замечание
В этих теоремах полагается, что существуют пределы функций f(x) и φ(x), из чего следует существование пределов суммы, произведения или частного этих функций.
Однако из существования пределов суммы, произведения или частного еще не следует, что существуют пределы самих функций f(x) и φ(x).

Пример.
Но:
- не существует

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Примеры.
1
Вычислить

Решение:

2
Вычислить

Решение:

Второй замечательный предел

Пусть
, тогда
Второй замечательный предел

Примеры.
1
Вычислить

Решение:

2
Вычислить