praktika_3

Основные теоремы о пределах
Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:
Предел показательно – степенной функции:

Вычисление пределов
Вычисление предела:
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу.
Если при подстановки предельного значения x0 в функцию f(x) получаются выражения вида:
то предел будет равен:

Вычисление пределов
Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов:
Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени

Найти пределы указанных функций

Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби
Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

Найти пределы указанных функций

Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.

Найти пределы указанных функций

https://www.kstu.kz/wp-content/uploads/docs/restricted/lib/portfolio/folder/rus/matematika/ryabushko1.pdf

Первый замечательный предел
Следствия:

Первый замечательный предел

Найти пределы указанных функций

Второй замечательный предел
Вторым замечательным пределом называется равенство:
Следствия:
Другие полезные формулы:

Второй замечательный предел

Найти пределы указанных функций

https://www.kstu.kz/wp-content/uploads/docs/restricted/lib/portfolio/folder/rus/matematika/ryabushko1.pdf

Бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами; обозначают обычно греческими буквами α, β и т. д.
Например:
- бесконечно малая функция при
Теорема
Если функция y = f(x) имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(x)

Бесконечно малые функции
Сравнение бесконечно малых
Пусть α(х), β(х) – бесконечно малые функции
Если
то говорят, что α(х) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с β(х) :
Если
то говорят, что α(х) и β(х) – бесконечно малые одного и того же порядка.
Если
то α(х) и β(х) – эквивалентные бесконечно малые

Бесконечно малые функции
Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых при