Предел последовательности. Лекция 3

Предел последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a∈ℝ называется пределом последовательности { xn } если
∀ε>0 ∃N∈ℕ такое что, ∀n>N | xn – a | <ε
Записывают:
Говорят: последовательность { xn } сходится (стремиться) к a.
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (сходящейся к a)
Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
предела последовательности
Пусть r∈ℝ, M(r)∈Ox
M(r) – геометрическая интерпретация числа r∈ℝ .
Пусть x0∈ℝ, ε>0.
Интервал (x0 – ε; x0 + ε) называют ε-окрестностью точки x0.
(геометрическое определение ε-окрестности точки)
Будем обозначать: U(x0, ε)
Имеем: U(x0, ε) = {x∈ℝ | |x – x0| < ε}
(алгебраическое определение ε-окрестности точки)

Из определения предела последовательности получаем:
если {xn}→a , то с геометрической точки зрения это означает, что в любой ε-окрестности точки a находятся все члены последовательности {xn}, за исключением может быть конечного их числа. (Геометрическая интерпретация предела последовательности).
⇒ a – точка «сгущения» последовательности { xn }.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность, сходящуюся к нулю, называют бесконечно малой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность {xn} называется бесконечно большой, если
∀M>0 ∃N∈ℕ такое, что | xn | >M , ∀n>N.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Расширим множество ℝ .
I способ. Дополним множество ℝ элементами, обозначаемыми +∞ и –∞ (называют: «плюс бесконечность» и «минус бесконечность»)
При этом справедливо: – ∞ < r < + ∞ , ∀r∈ℝ .
II способ. Дополним множество ℝ элементом, обозначаемыми ∞ (называют: «бесконечность»)
При этом ∞ не связана с действительными числами отношением порядка.

Множество ℝ∪{–∞ , +∞} и ℝ∪{∞} называют расширенным множеством действительных чисел (способ расширения всегда понятен из контекста).
Обозначают: ℝ̄ .
Элементы –∞ , +∞ , ∞ называют бесконечно удаленными точками числовой прямой.
ε-окрестностью точек –∞, +∞, ∞ считают следующие множества:
U(+ ∞ , ε) = { x∈ℝ | x > 1/ε}
U(– ∞ , ε) = { x∈ℝ | x < –1/ε}
U(∞ , ε) = { x∈ℝ | | x | > 1/ε}

Если {xn} – бесконечно большая, то с геометрической точки зрения это означает, что в любой ε-окрестности точки ∞ находятся все члены последовательности, за исключением может быть конечного их числа.
(Геометрическая интерпретация бесконечно большой последовательности).
Записывают:
Говорят: «последовательность { xn } стремиться к ∞».
Частные случаи бесконечно больших последовательностей:
1) {xn} – бесконечно большая и xn ≥ 0 , ∀n .
Тогда | xn | = xn >M , ∀n>N
⇒ все члены последовательности, за исключением может быть конечного их числа, находятся в любой ε-окрестности точки + ∞.
Записывают:
Говорят: «последовательность { xn } стремиться к + ∞».

2) { xn } – бесконечно большая и xn ≤ 0 , ∀n .
Записывают:
Говорят: «последовательность { xn } стремиться к – ∞».
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой, разностью, произведением, частным двух последовательностей {xn} и {yn} называются соответственно последовательности
{ xn+ yn }, { xn– yn}, { xn ⋅ yn }, .
Последовательность {cxn} называется произведением {xn} на число c (произведение последовательностей {xn} и {c})

Бесконечно малые последовательности

Свойства бесконечно малых последовательностей

Сходящиеся последовательности