Пределы и непрерывность. Предел функции

§3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
3.1. Предел функции в точке
Число А называется пределом функции в точке х0 (или при х→х0), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все х ≠ х0, удовлетворяющих неравенству |х-х0|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.
Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0.

Если для любой
ε-окрестности точки А найдется такая
δ-окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой δ-окрестности соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А.

3.2. Односторонние пределы
► Число А1 называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке х0, если для любого числа ε > 0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при
х є (х0-δ;x0), выполняется неравенство |ƒ(х)-А1|<ε.
Аналогично определяется
предел функции справа
►Пределы функции
слева и справа называются
односторонними пределами.

3.3. Предел функции при х → ∞
Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞).

3.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)

3.5.1. Определения и основные теоремы
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми. Обозначают б.м.ф. греческими буквами α, β и т. д.
3.5. Бесконечно малая функция(б.м.ф)

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Теорема 2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
Следствие 1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы 2 вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.
Следствие 2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.
Теорема 4. Если функция α(х) — бесконечно малая (α ≠ 0), то функция 1/α(х) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция ƒ(х)— бесконечно большая, то 1/ƒ(х) — бесконечно малая.

3.5.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

§4. Основные теоремы о пределах
Следствие. Функция может иметь только один предел при х→х0.

§5. Основные способы вычисления пределов.
Алгоритм решения.
Подставить в выражение предельное значение аргумента.
Определить есть или нет неопределенность. Если нет неопределенности, дать ответ.
Если неопределенность есть, то по ее виду выбрать один из методов устранения этой неопределенности.
Преобразовать выражение согласно выбранному способу, и к новой форме предела применить данный алгоритм, начиная с п.1.
При вычислении пределов появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Способ 1. Применение формул(нахождение корней квадратного уравнения, формулы сокращенного умножения, тригонометрические формулы).

Способ 4. Первый замечательный предел

Способ 5. Второй замечательный предел
Примеры:

Задача о непрерывном начислении процентов
A0 – первоначальный вклад в банк.
Найдем размер вклада A1 через t лет.
Банк выплачивает ежегодно р% годовых.
Если начислять проценты % не раз в год, а n раз
(n=2-полугодие, n=4- квартал, n=12- ежемесячно, n=365- ежедневно и т.д.).

Формула может быть использована при непрерывном вычислении процентов

§6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
6.1. Непрерывность функции в точке
Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки.
Определение 1 Функция y= ƒ(x) называется непрерывной в точке х0, если:
1) функция ƒ (х) определена в точке x0 и в ее окрестности;
Функция будет разрывной, если не выполнено хотя бы одно условие.

∆х= х- x0
∆у=ƒ(х0+∆х)-ƒ(х0)

6.2. Точки разрыва функции и их классификация
►Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Если х = х0 — точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции.
Примеры:

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
а) если А1=А2, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва;
б) если А1≠А2, то точка х0 называется точкой конечного разрыва.
►Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции у=ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.