Предмет і задачі дослідження операцій

"Природа - як жива, так і нежива - рясніє прикладами оптимальності. Свої задачі оптимізації вона вирішує шляхом численних експериментів, протягом мільйона років випробуючи всілякі варіанти рослинних і тваринних конструкцій.
Нам не відпущено стільки часу і можливостей на процес створення, тому однією з актуальних завдань сьогодення є розробка методів оптимізації»
Жілінскас А.Г. Шалтяніс В.Р. "Пошук оптимуму"

Дослідження операцій (ДО) як самостійний науковий напрям виник в роки другої світової війни з потреб найкращої організації бойових дій (операцій), а також прогнозування їх результату.
1.1 Історія виникнення ДО

У витоків ДО лежали два математичні напрями:
операційний аналіз
теорія програмування (=планування)
Витоки Дослідження Операцій

Виник в Англії на початку другої світової війни, коли багато спеціалістів з різних областей науки були залучені до розробки методів постачання армії та ведення бойових дій.
Операційний аналіз

Задача знаходження оптимальної кількості кораблів при даному конвої
Програма ленд-лізу - система, за якою США, частково на безоплатній основі передавали своїм союзникам у Другій світовій війні боєприпаси, техніку, продовольство і стратегічну сировину

Розвилась в США в період війни, коли виникли проблеми постачання армії військовими матеріалами, продовольством тощо.
Теорія планування (програмування)

Задача про розміщення складів

Подальше застосування методів ДО
Сільське госп-во
Промисловість
Будівництво
Транспорт
Торгівля
Зв’язок

1.2 Типові задачі дослідження операцій

…
…
Задача 1. Транспортна задача

…
…
Задача 1. Транспортна задача

… …
… …
Задача 1. Транспортна задача

… …
… …
Задача 1. Транспортна задача

… …
… …
Задача 1. Транспортна задача

… …
… …
Задача 1. Транспортна задача

… …
… …
Задача 1. Транспортна задача
Необхідно розробити такий план постачання підприємствам продукції, щоб потреби споживачів в продукції були забезпечені при мінімальних сумарних витратах на перевезення продукції.

Задача 1. Транспортна задача (числовий приклад)
План перевезень 1

Задача 1. Транспортна задача (числовий приклад)
План перевезень 2

Задача 1. Транспортна задача (числовий приклад)
План перевезень 3

«… країни перемагають у війнах не тому, що вони хоробріші противника або більш незалежні або їм трохи більше благоволить Бог.
Як правило, переможцем стає той, у кого збивають на 5% менше літаків, або хто використовує на 5% менше палива, або хто забезпечує піхоті на 5% більш якісне харчування при 95% витрат».
Джордан Елленберг Як не помилятися. Сила математичного мислення

Задача 2. Визначення асортименту випуску продукції
Скласти план виробництва продукції, при якому досягає максимуму сумарний прибуток.
Види продукції
Прибуток(од.варт.)
Ресурси
Обсяги ресурсів (од.)

Задача 3. Задача складання розкладу виконання робіт
Необхідно скласти такий розклад виконання робіт паралельними пристроями, при якому досягає мінімуму загальний час виконання робіт

Задача 4. Задача про призначення (проблема вибору)
Необхідно призначити робітників на роботи так, щоб досягти максимальної ефективності виконання усіх робіт за умови: одночасно кожен робітник може виконувати тільки одну роботу і кожна робота може виконуватися тільки одним робітником.

Задача 4. Задача про призначення (проблема вибору)
(2, 3, 1, 4, 5)
Сумарна ефективність призначень = 19
(4, 5, 3, 1, 2)
Сумарна ефективність призначень = 39

Задача 5. Задача комівояжера

Необхідно визначити в яких місцях розмістити виробництво, щоб сумарні виробничо-транспортні витрати були мінімальними.
Задача 6. Задача розміщення виробництва

Задача 7. Задача покриття множини

1) мова йде про якийсь захід, що переслідує певну мету;
2) задані деякі умови, що характеризують обстановку;
3) в рамках цих умов потрібно знайти таке рішення, щоб задуманий захід був в певному сенсі найбільш вигідним.
Характерні особливості задач дослідження операцій

Характерні особливості задач дослідження операцій
1) мова йде про якийсь захід, що переслідує певну мету;

Характерні особливості задач дослідження операцій
2) задані деякі умови, що характеризують обстановку (зокрема, засоби, якими можна розпоряджатися);

Характерні особливості задач дослідження операцій
3) в рамках цих умов потрібно прийняти таке рішення, щоб задуманий захід був в певному сенсі найбільш вигідним.

Дослідження операцій (ДО) - застосування математичних методів для обґрунтування рішень в будь-яких сферах людської діяльності.
Операція - сукупність взаємоузгоджених дій, направлених на досягнення певної мети.
Керовані параметри операції – параметри, значення яких ми можем встановлювати (значеннями яких ми можемо керувати )
Некеровані параметри операції – параметри, значення яких ми НЕ можемо встановлювати (значення яких нам не підвладні, наприклад, погодні умови, ринкові ціни)
1.3 Основні поняття ДО

Розв’язок - конкретний набір значень керованих параметрів.
Оптимальним називається розв’язок, що найбільшою мірою сприяє досягненню мети операції.
Метою дослідження операцій є кількісне обґрунтування оптимальних рішень.

Математична модель операції -сукупність формальних співвідношень, що встановлюють взаємозв'язок керованих параметрів, некерованих параметрів і описують критерій ефективності.
Основна задача ДО є пошук екстремальних значень критерію в рамках моделі.

1) Ідентифікація проблеми
2) Побудова моделі
3) Вибір математичного методу
4) Розв’язання поставленої задачі
5) Перевірка адекватності моделі
6) Реалізація результатів на практиці
1.4 Етапи проведення ДО

Визначення кількості зенітних установок
Систематична помилка того, хто вижив
Етап 1. Ідентифікація проблеми

1.5 Математичні моделі операцій

так ні
Модель недетермінована
Модель детермінована

Детермінована модель

так ні
Недетермінована модель (1)
Модель в умовах невизначеності
Модель стохастична
Треба розділяти ситуації:
має або не має сенс середній результат
операція проводиться одноразово або неодноразово

Критерій якості роботи реаніматологів: середня температура пацієнтів в палаті інтенсивної терапії.
Критерій якості роботи постачальників: мінімізація моментів відхилення моментів поставок від їх директивних термінів.
Три економіста пішли на полювання. Побачивши кабана, перший економіст вистрілив і промазав на метр вправо. Другий вистрілив і промазав на метр вліво. Третій, побачивши це, не став стріляти, а радісно заволав: «Хлопці, в середньому ми його пристрелили!»
?

Приклад 1. Ви воліли б взяти 50 тисяч доларів, або укласти парі 50 на 50 між втратою 100 тисяч доларів і отриманням 200 тисяч доларів?
Приклад 2. Ви воліли б взяти 50 тисяч доларів, або укласти парі 50 на 50 між втратою 100 тисяч доларів і отриманням 250 тисяч доларів?
Приклад 3. Ви, власник великої корпорації, вважали за краще б взяти 50 тисяч доларів, або мати можливість багаторазово проводити операції, в результаті яких з ймовірністю 0,5 на 0,5 втрачали 100 тисяч доларів або отримували 250 тисяч доларів?

Операція проводиться
неодноразово і має сенс
так середній результат? ні
Модель в умовах невизначеності
Модель стохастична
Недетермінована модель (2)

Змістовна постановка
Електротехнічна компанія використовує у виробничому процесі каніфоль.
Розміщення замовлення на нову поставку каніфолі обходиться фірмі в 1000 дол. Час виконання замовлення коливається від 3-х до 5-ти діб. Вартість зберігання одного галону каніфолі протягом одного місяця становить 5 дол., а питомі втрати від її дефіциту – 20 дол. за один галон.
Статистичні дані свідчать про те, що попит на каніфоль є випадковою величиною, рівномірно розподіленою від 0 до 100 галонів за добу.
Визначити оптимальну політику управління запасами для компанії.
Стохастична модель економічного розміру замовлення (1)

Стохастична модель економічного розміру замовлення (2)

1.5 Задачі оптимізації – визначення

(1)

Більш оптимальний, менш оптимальний, найоптимальніший

Более оптимальный, менее оптимальный, самый оптимальный

Плеоназми

(4)
(5)

Точна нижня грань функції

Класифікація задач оптимізації (1)

Опукла множина

Опукла функція

Класифікація задач оптимізації (2)