Предыстория математического анализа. Значение производной в различных областях науки

Актуальность
Проблема
Непонимание математического смысла производной => неполноценность значения в различных областях наук.
Гипотеза Использование дифференциальных уравнений лежит в основе физических законов.

План
Цели и задачи
Определение
История создания
Разбор темы
Применение в жизни
Задачи и вопросы

Цели и задачи
Цели:
Объяснить значение и смысл производных на конкретных примерах использования в различных науках.
Задачи:
Изучить основы математического анализа.
Понять и научиться применять производную функций.
Найти и изучить примеры использования в разных науках.

Определение
Математический анализ –
совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

История
Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой.
В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII вв. различные кривые.

История

Понятие о производной
Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).
Производной функции f в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение
при Δx, стремящемся к нулю
Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Определение производной
Пример1
Найти производную функции f(x)=x3 в точке x0 .
1) Δf = (x0+ Δx)3-x03 = 3x02Δx + 3x0(Δx)2 +(Δx)3
2) Δf/ Δx = 3x02 + 3x0Δx + (Δx)2 ;(Δx ≠0).
3) 3x02 постояно, а при Δx →0 ,
3x0 Δx →0 и (Δx)2 →0 => 3x0 Δx + (Δx)2 →0 ;
Δf/ Δx → 3x02 при Δx →0 => f’(x0)= 3x02

предел
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении ее аргумента к данной точке

предел

Примеры и задачи по теме предел функции

Определение производной через понятие предела

Применение в жизни
Физика: Скорость, ускорение и др.

Изменение численности населения Земли

Золотое сечение

Примеры