Преобразования 2D. Преобразования, связанные с системой координат

Преобразования, связанные с системой координат
Для управления изображением на экране, нужно вносить изменения в его положение, форму, ориентацию, размер. Для этих целей существуют специальные геометрические преобразования, которые позволяют изменять эти характеристики объектов в пространстве.
Существуют три основных преобразований:
Перемещение (перенос)
Масштабирование
Вращение

Перемещение
Перенос перемещает объект в другую позицию на экране не меняя при этом размеры и форму объекта.
Можно перевести точку в 2D, добавив координату перемещения (t x , t y ) к исходной координате (X, Y), чтобы получить новую координату (X ‘, Y’).

продолжение
X ‘= X + t x
Y ‘= Y + t y
Пара (t x , t y ) называется вектором перевода или вектором сдвига. Приведенные выше уравнения также могут быть представлены с использованием векторов столбцов.
Математически этот перенос можно описать с помощью вектора переноса . Пусть радиус вектор, соответствующий вектору переноса . Тогда переход из точки в точку будет соответствовать векторной записи . Отсюда получаем, что для переноса точки в новое положение необходимо добавить к ее координатам некоторые числа, которые представляют собой координаты вектора переноса:

Масштабирование
Масштабированием объектов называется растяжение объектов вдоль соответствующих осей координат относительно начала координат или относительно точки сцены.
Эта операция применяется к каждой точке объекта, поэтому можно также говорить о масштабировании точки. При этом, конечно, речь не идет об изменении размеров самой точки.
Масштабирование достигается умножением координат точек на некоторые константы по осям называемые коэффициентами масштабирования.

продолжение
Когда коэффициенты масштабирования равны между собой, масштабирование называется однородным.
После применения операции однородного масштабирования с коэффициентом 2 он переходит в треугольник
Когда коэффициенты масштабирования не равны между собой, масштабирование называется неоднородным. Объект меняет форму.

продолжение
X ‘= X * S x
Y ‘= Y * S y
Матрица масштабирования будет:
Для точки операция масштабирования в матричном виде будет выглядеть следующим образом:

Вращение
Вращение это поворот объект на определенный угол θ (тета) относительно начала координат или относительно точки сцены.
Точка P (X, Y) расположена под углом φ от горизонтальной координаты X с расстоянием r от начала координат.
Если повернуть его на угол θ, получаем новую точку P ‘(X’, Y ‘).

продолжение
Найдем преобразование координат точки Р в точку P’ при вращении.

Дополнительные преобразования
отражение
Отражение — это зеркальное отражение оригинального объекта. Это операция поворота на 180 °. При преобразовании отражения размер объекта не изменяется.
На следующих рисунках показаны отражения относительно осей X и Y и начала координат соответственно.

ножницы
Преобразование, которое наклоняет форму объекта, называется сдвиговым преобразованием.
Существуют две трансформации сдвига X-Shear и Y-Shear . Один сдвигает значения координат X, а другой сдвигает значения координат Y.
Тем не мение в обоих случаях только одна координата меняет свои координаты, а другая сохраняет свои значения. Стрижка также называется Skewing.

продолжение
X-Shear
X-Shear сохраняет координату Y, и в координаты X вносятся изменения, в результате чего вертикальные линии наклоняются вправо или влево, как показано на рисунке ниже.