Презентация на тему Исследование функции с помощью производной

Исследование функции с помощью производной
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

УСТНЫЙ ОПРОС
Достаточный признак возрастания функции.
Достаточный признак убывания функции.
Какие точки области определения функции являются критическими точками.
Необходимое условие экстремума (или теорема французского математика – теорема Ферма)
Какая точка называется точкой максимума? (упрощенная формулировка этого признака).
Какая точка называется точкой минимума? (упрощенная формулировка этого признака)
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

Достаточный признак возрастания функции
Если функция f
имеет неотрицательную производную в каждой точке интервала (а;b),
то функция f возрастает
на интервале (а;b).
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

Достаточный признак убывания функции
Если функция f
имеет неположительную производную в каждой точке интервала (а;b),
то функция f убывает на интервале (а;b).
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

Необходимое условие экстремума
(Теорема Ферма)
Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x), то она равна нулю: f `(x) = 0.
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

Признак максимума функции
Если функция f непрерывна в точке х0, а f `(x) > 0 на интервале (а; х0), и f `(x) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.
Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то точка х0 максимума.
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

Признак минимума функции
Если функция f непрерывна в точке х0, f `(x) < 0 на интервале (а; х0) и f `(x) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.
Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

Практическая работа
Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

1. Какова область определения функции?
2. Найдите область определения функции
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

3. Какая это функция: четная или нечетная?
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

4. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум.
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

5.На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция? Назовите их.
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
(1707-1783)
Математик, механик,
физик и астроном.
По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую академию наук и переехал в 1727
в Россию.
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Найти область определения функции. (Указать множество значений переменной х, при которых данная функция определена).
Исследовать функцию на четность. (Выяснить, симметрична ли область определения функции относительно начала координат и найти y = f(-x). Если f(-x) = f(x), то функция четная, если y f(-x) = -f(x), то функция нечетная).
Найти нули функции. (Точки пересечения с осями координат).
Исследовать функцию на монотонность. (Если f ’(x) > 0, то функция возрастает, если f ’(x) < 0, то функция убывает).
Записать точки экстремума и экстремумы функции. (Найти значение функции в точках экстремума).
Дополнительные точки.
Построение графика.
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

ПРИМЕР
Исследовать функцию и построить график
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

ГРАФИК ФУНКЦИИ
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

α1
α2
График выпуклый
f `(x) – убывает
f ``(x) < 0
График вогнутый
f `(x) – возрастает
f ``(x) > 0
α1
α2
A1
A2
A1
A2
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

ПРИМЕР
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
Найти интервалы выпуклости и точку перегиба, если
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

ТВОРЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
Я – функция сложная, это известно,
Еще расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. № 300 (а, б).
2. Нестандартное задание: найдите функции, описывающие реальные физические процессы, которые вы изучали на уроках физики и исследуйте их.
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru

ИТОГ УРОКА
Рассмотрите взаимосвязь между свойством функции и производной. Как влияет знак второй производной на выпуклость функции.
Выставление оценок за фронтальный опрос, за блиц-опрос и за практическую работу у доски.
Будьте добры, покажите, пожалуйста, ваше настроение в конце нашего урока.
Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru