Презентация на тему Свойства функции

Свойства функции

Монотонность
Возрастающая
Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве Х, если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство
f(х1) < f(х2).
Убывающая
Функцию у = f(х) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух точек
х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство
f(х1) >f(х2).
x1
x2
f(x1)
f(x2)
х1
x2
f(x2)
f(x1)
Свойства функции

Наибольшее и наименьшее значения
Число m называют наименьшим значением функции
у = f(х) на множестве Х, если:
в Х существует такая точка х0, что f(х0) = m.
для всех х из Х выполняется неравенство
f(х) ≥ f(х0).
Число M называют наибольшим значением функции
у = f(х) на множестве Х, если:
в Х существует такая точка х0, что f(х0) = M.
для всех х из Х выполняется неравенство
f(х) ≤ f(х0).
Свойства функции

Непрерывность
Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на промежутке Х сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.
Задание: Определите, на каком из рисунков изображен график непрерывной функции.
Свойства функции
1
2
подумай
правильно

Свойства функции
ЧЕТНОСТЬ
Говорят, что множество Х симметрично относительно начала
координат, если множество Х таково, что (- х)  Х при любом х  Х.
Четная функция
Нечетная функция
Функция y = f(x) называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и если f (-x) = f (x) при любом х  Х. Четная функция симметрична относительно оси ординат.
Функция y = f(x) называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и если f (-x) = f (x) при любом х  Х. Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

Выпуклость
Функция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
Функция выпукла вверх на промежутке Х, если соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.
Свойства функции

Ограниченность
Функцию у = f(х) называют ограниченной снизу на множестве Х, если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа.
Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве Х, если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа.
х
у
х
у
Свойства функции

Алгоритм описания свойств функций
Область определения
Область значений
Четность
Монотонность
Непрерывность
Ограниченность
Наибольшее и наименьшее значения
Нули функции
Выпуклость
Свойства функции

Опишите свойства функций:
у= kx + m – линейная функция
у = kx2 – квадратичная функция
у = k/x – обратная пропорциональность
у =
у = | х |
у = ах2 + bх + с – квадратичная функция
Свойства функции

Свойства функции y = kx + m (k ≠ 0)
D(f) = (-∞; +∞);
E(f) = (-∞; +∞);
ни четная, ни нечетная;
возрастает при k > 0,
убывает при k < 0;
непрерывная
не ограничена ни снизу, ни сверху;
нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
y = 0, при
о выпуклости говорить не имеет смысла.
Свойства функции
k > 0
k < 0

при k < 0
D(f) = (-∞, +∞);
Е(f) = (-∞, 0];
четная
убывает на луче [0,+∞),
возрастает на луче (-∞, 0];
непрерывна;
не ограничена снизу, ограничена сверху;
унаиб = 0, унаим не существует;
y = 0 при х = 0
выпукла вверх.
при k > 0
D(f) = (-∞, +∞);
E(f) = [0, +∞);
четная;
убывает на луче (-∞, 0],
возрастает на луче [0, +∞);
непрерывна;
ограничена снизу, не ограничена сверху;
унаиб не существует, унаим = 0;
y = 0 при х = 0
выпукла вниз.
Свойства функции у = kх2
Свойства функции

при k > 0
D(f) = (-∞,0)U(0, +∞);
Е(f) = (-∞,0)U(0,+∞); четная
убывает на луче (-∞,0) и на
луче (0,+∞);
нет ни наименьшего, ни
наибольшего значений;
непрерывна на луче (-∞,0) и
на луче (0,+∞);
выпукла вверх при х < 0 и
выпукла вниз при х > 0;
ограничена ни сверху при х < 0,
ограничена снизу при х > 0;
с осями координат не пересекается.
Свойства функции
Свойства функции
при k < 0
D(f) = (-∞,0)U(0, +∞);
Е(f) = (-∞,0)U(0,+∞);
четная
возрастает на луче (-∞,0) и на
луче (0,+∞);
нет ни наименьшего, ни
наибольшего значений;
непрерывна на луче (-∞,0) и
на луче (0,+∞);
выпукла вверх при х > 0 и
выпукла вниз при х < 0;
ограничена ни сверху при х >0,
ограничена снизу при х < 0;
с осями координат не пересекается.

Функция
D(f) = [0,+∞);
Е(f) = [0, +∞);
ни четная, ни нечетная;
возрастает на всей области определения;
непрерывна;
ограничена снизу;
унаим = 0, унаиб = не существует;
у = 0 при х = 0;
выпукла вверх.
Свойства функции
y
x

Функция у = |х|
D(f) = (-∞,+∞);
Е(f) = [0, +∞);
четная;
убывает на луче (-∞,0], возрастает на луче [0, +∞);
непрерывна;
ограничена снизу, не ограничена сверху;
унаим = 0, унаиб = не существует;
у = 0 при х = 0;
можно считать выпуклой вниз.
Свойства функции