Презентация_по_математике_Высказывания_и_операции_над_ними_10_класс

Утверждения
утверждения определяют истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание

Высказывания
Любое утверждение, относительно которого имеет смысл говорить, сто оно истинно или ложно, называют высказыванием.
Высказывания обозначаются буквами латинского алфавита: A, B, C…
Любое высказывание является или истинным, или ложным. Могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0)

В алгебре высказываний над логическими переменными (над высказываниями) можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые высказывания

Составные высказывания
Высказывания, состоящие из нескольких простых суждений и содержащие в себе более, чем одну простую мысль, называются логическими функциями
Обозначаются F(A,B,C…)
Также могут принимать значения «ИСТИНА» или «ЛОЖЬ» в зависимости от того, какие значения имеют входящие в их состав логические переменные и от действий над ними

Логические операции
Конъюнкция
(логическое умножение, «И»)
Дизъюнкция
(логическое сложение, «ИЛИ»)
Инверсия
(логическое отрицание, «НЕ»)
Импликация
(логическое следование, «Если А, то В»)
Эквивалентность
(логическое равенство, «А тогда и только тогда, когда В»)

Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «И» называется логическим умножением, или конъюнкцией
Конъюнкцией (или логическим произведением) двух высказываний А и В называют высказывание, которое истинно, если каждое из высказываний А и В истинно, и ложно, если хотя бы одно из них ложно.

Конъюнкция. Определите истинность.
«2 × 2 = 5» И «3 × 3 = 10»
«2 × 2 = 5» И «3 × 3 = 9»
«2 × 2 = 4» И «3 × 3 = 10»
«2 × 2 = 4» И «3 × 3 = 9»
Истинна только функция (4)

Запись конъюнкции на формальном языке алгебры высказываний
F(A,B) = A ∧ B

Таблица истинности показывает какие значения принимает логическая функция при всех возможных значениях логических переменных

Таблица истинности
для конъюнкции

Таблица истинности
для конъюнкции

Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» называется логической суммой, или дизъюнкцией
Дизъюнкцией (или логической суммой) двух высказываний А и В называют высказывание, которое истинно, если хотя бы одно из высказываний А или В истинно, и ложно, если они оба ложны.

Логическая функция, полученная в результате дизъюнкции, истинна тогда, когда истинна хотя бы одна из входящих в него логических переменных

Дизъюнкция. Определите истинность логической функции
«2 × 2 = 5» ИЛИ «3 × 3 = 10»
«2 × 2 = 5» ИЛИ «3 × 3 = 9»
«2 × 2 = 4» ИЛИ «3 × 3 = 10»
«2 × 2 = 4» ИЛИ «3 × 3 = 9»
Ложна только функция (1),
остальные истинны

Запись дизъюнкции на формальном языке алгебры высказываний
F(A,B) = A ∨ B
Также может встретиться запись, типа:
F(A,B) = A + B

Таблица истинности
для дизъюнкции

Таблица истинности
для дизъюнкции

Дополнительные
логические функции
Импликацию и эквивалентность можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, поэтому их называют дополнительными логическими функциями:
Импликация:
А ⇒ В если А, то В
Эквивалентность:
А ⇔ В , А эквивалентно В или А тогда и только тогда, когда В.

Объединение двух высказываний, из которых первое является условием, а второе – следствием из него, называется импликацией (логическим следованием)
Импликацией (или логическим следованием) двух высказываний А и В называют высказывание, которое ложно при условии, что высказывание А истинно, а высказывание В ложно, а во всех остальных случаях оно истинно.

Импликация ложна
тогда и только тогда, когда
условие истинно,
а следствие ложно
Пример:
Если выучишь материал, то сдашь зачет
Это высказывание ложно только тогда, когда материал выучен, а зачет не сдан, т.к. сдать зачет можно и случайно, например если попался единственный знакомый вопрос или удалось воспользоваться шпаргалкой

Таблица истинности
для импликации

Эквивалентность – это логическая операция, объединяющая два простых высказывания в одно составное и которое является истинным
тогда и только тогда, когда
оба исходных высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.
Эквивалентностью (или двойной импликацией) двух высказываний А и В называют высказывание, которое истинно, если оба высказывания А и В истинны или оба ложны, и ложно, если одно из них истинно, а другое ложно.

Таблица истинности
для эквивалентности

Отрицанием высказывания А называют высказывание, которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, если высказывание А истинно.

Дизъюнкция:
X ∨ Y ≡ Y ∨ X
Конъюнкция:
X ∧ Y ≡ Y ∧ X
Логические выражения получаются при комбинировании между собой логических операций.

Дизъюнкция:
X ∨ (Y ∨ Z) ≡ (X ∨ Y) ∨ Z
Конъюнкция:
X ∧ (Y ∧ Z) ≡ (X ∧ Y) ∧ Z
Логические выражения

Дизъюнкция:
X ∧ (Y ∨ Z) ≡ X ∧ Y ∨ X ∧ Z
Конъюнкция:
X ∨ (Y ∧ Z) ≡ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)
Логические выражения

(А ∧ В) ∨ С

Высказывание А и В называют логически эквивалентными, если они или оба истинны, или оба ложны.