Анализ типичных затруднений выпускников при выполнении заданий ЕГЭ по математике

Задания первой части
I. Задания по алгебре.
II. Задания по геометрии.
III. Практико-ориентированные задачи.

Для участников экзамена, заинтересованных в преодолении порогового балла 5 первичных
или 24 тестовых
Предназначены задания:
В1 - В5, В10, В13, направленные на:
- выявление и оценку уровня развития общекультурных и коммуникативных математических навыков, необходимых человеку в современном обществе;
- проверку адекватности воприятия текста практико-ориентированных задач;
- проверку базовых вычислительных и логических умений и навыков;

Для участников экзамена, заинтересованных в преодолении порогового балла 5 первичных
или 24 тестовых
оценку умения считывать и анализировать графическую и табличную информацию;
оценку способности ориентироваться в постых наглядных ггеометрических конструкциях.

Для участников экзамена , планирующих использовать результаты ЕГЭ по математике при поступления в ссузы и вузы, предназначены задания В7 – В14,
С1 –С6, требующие математических знаний и направленные на ранжирование абитуриентов по уровню математической подготовки.

Результаты ЕГЭ
- задачу В1 на расчет платы за электричество верно выполнили 78% участников экзамена
- задачу В5 (показательное или логарифмическое уравнение) верно решили 86% экзаменуемых.
- задачу на поиск наибольшего значения функции верно решили (53%)
- наглядную задачу по геометрии верно решили (49%).

Решение, статистика и методический анализ выполнения заданий по ряду вариантов ЕГЭ
2013 года Задача В1. Вариант 1.
Одна таблетка лекарства весит 70 мг и содержит 4% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,05 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте пяти месяцев и весом 8 кг в течение суток? (Ответ: 3) .
Верный ответ - 83,97%
Неверные ответы: 2 – 18%
Процент от общего числа ошибочных
ответов!!!!
Не дали ответа - 1,39%.

Вариант 2.
В квартире, где проживает Анастасия, установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). 1 сентября счётчик показывал расход 122 куб. м воды, а 1 октября — 142 куб. м. Какую сумму должна заплатить Анастасия за холодную воду за сентябрь, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 9 руб. 90 коп.? Ответ дайте в рублях.
Ответ: 198.
Верный ответ - 88,92%
Массовые неверные ответы:
1207,8 – 19% (показание счётчика на 1 сентября умножили на цену 1 куб. м).
1405,8 – 9% (вероятно, показания счётчика на 1 октября умножили на цену 1 куб. м).
Не дали ответа - 0,27%.

Ошибки:
• неполное решение задачи (в ответ записывали промежуточный результат);
вычислительные ошибки;
ряд ошибок мог бы быть замечен и исправлен, если бы участники экзамена сопоставили свой результат с реальностью.

Задача В2. Вариант 1.
На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006
год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место
— Казахстан. Какое место занимала Канада?

Ответ: 7.
Верный ответ - 96,14%
Массовые неверные ответы:
6 – 49% (начали отсчёт с Перу),
4 – 20% (начали отсчёт с конца).
Не дали ответа - 0,24%.
Ошибки:
неполное чтение условия задачи (указание объема и отсчёт с конца);
отсчёт начинается со второго места.

Задача В3. Вариант 1.
Найдите площадь трапеции,
изображённой на рисунке. Ответ: 15.
Верный ответ - 85,10%
Массовые неверные ответы:
17,5 – 25% (ошибка в
нахождении длины нижнего
основания);
20 – 14% (ошибка в нахождении оснований).
1,13% - не дали ответа.

Вариант 3.
Найдите площадь
параллелограмма, изображённого на рисунке.
Ответ: 6.
Верный ответ – 87,34%
Массовые неверные ответы:
3 – 17% (ошибка в
формуле площади);
10 – 10% (ошибка в нахождении высоты параллелограмма).
1,54% - не дали ответа

Ошибки:
ошибочное вычисление длины отрезка по координатам концов отрезка;
ошибка в нахождении высоты;
использование неверной формула площади фигуры.

Задача В4. Вариант 1.
Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены P, показателей функциональности F , качества Q и дизайна D . Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле
R=4(2F+2Q+D)−0,01P. В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических чайников. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических чайников.

Верный ответ – 86,99%
Массовые неверные ответы:
11 – 13% (ошибка в определении рейтинга модели Б);
6 – 22% (ошибка в вычислении).
2,21% - не дали ответа

Задача В5. Вариант 2.
Найдите корень уравнения 59+ x =125.
Ответ: – 6.
Верный ответ – 92,52%
Массовые неверные ответы:
6 – 26% (перенос числа из одной части уравнения в другую);
10 – 16% (ошибка в представлении числа 125 как 525).
0,84% - не дали ответа.

Вариант 4.
Найдите корень уравнения:
log 2(12 − 4x)= 5.
Ответ: – 5. Верный ответ – 77,91%
Массовые неверные ответы:
5 – 19% (, не справились со знаками или уверены, что в логарифмическом уравнении корни могут быть только положительными);
3,25 – 12% (ошибка при переходе от логарифмического уравнения к линейному).
2,62% - не дали ответа.

При выполнении задачи В5 допущено много ошибок, из которых самыми массовыми являются:
• вычислительные;
• неверное решение линейного уравнения;
• незнание определения логарифма;
• неверное решение логарифмического уравнения;
• неверное представление числа в виде степени;
• неверное решение показательного уравнения.

Задача В6. Вариант 1.
В треугольнике ABC, AC=BC, AB = 20 , высота AH равна 8. Найдите синус угла BAC .
Ответ: 0,4.
Верный ответ – 78,09%
Массовые неверные ответы:
0,5 – 22% (надежда на хороший
ответ в предположении, что угол при основании равен 30° );
0,8 – 8% (при вычислении синуса взята половина основания).
6.01% - не дали ответа.

Вариант 4.
В треугольнике ABC, AD — биссектриса,
угол C равен 62° , угол CAD равен 32° .
Найдите угол B.
Ответ дайте в градусах.
Ответ: 54.
Верный ответ – 76,36%
Массовые неверные ответы:
12 – 86% (ошибка в предположении,
что угол А равен 32°);
10 – 52% (вычислительная ошибка).
3.00% - не дали ответа.

При выполнении задачи В6 допущено много ошибок, из которых самыми массовыми являются:
- отсутствие видения геометрической конструкции;
- незнание свойств равнобедренного треугольника;
- незнание определений тригонометрических функций острого угла прямоугольного
треугольника;
- вычислительные.

Задача В7
Вариант 1.
Найдите значение выражения log2240 − log23,75.
Ответ: 6.
Верный ответ – 76,65%
Массовые неверные ответы:
8 – 25% (ошибка в определении логарифма);
22 – 64% (не вычислен логарифм числа).
3,70 % - не дали ответа

Вариант 4.
Ответ: – 0,4.
Верный ответ – 40.98%
Массовые неверные ответы:
0,4 – 42% (ошибка в нахождении области допустимых значений);
1 – 5% (попытка угадать ответ).
18,20 % - не дали ответа

Ошибки при выполнении задания В7:
- незнание логарифмов;
- незнание свойств логарифмов; - незнание соотношений между тригонометрическими функциями одного и того же угла;
- незнание знаков тригонометрических функций углов, принадлежащих определенным четвертям;
- арифметические ошибки.

Задача В8. Вариант 2.
На рисунке изображён график y= f′(x) производной функции f ( x ), определённой на интервале (−2;9). В какой точке отрезка [2; 8] функция f ( x ) принимает наименьшее значение? Ответ: 2.

Задание В8
Верный ответ – 74,28%
Массовые неверные ответы:
7 – 47% (количество точек экстремума производной);
3 – 11% (найдена абсцисса точки, в которой производная принимает наибольшее значение).
1,97 % - не дали ответа

Вариант 3.
На рисунке изображены график функции y= f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0 . Найдите значение производной функции f ( x ) в точке x0. Ответ: – 1,25.
Верный ответ – 53,52%
Массовые неверные ответы:
1,25 – 16%(предположительно, не учли, что на рисунке график убывающей функции);
0,8 – 13% (предположительно, получили обратную величину).
9,81 % - не дали ответа

.
Ошибки при выполнении задачи В8:
• неверное вычисление углового коэффициента прямой;
• неумение связать свойства функции с производной;
• невнимательное чтение условия.

Задача В9. Вариант 1.
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен . Найдите образующую конуса. Ответ: 20.
Верный ответ – 83,22%
Массовые неверные ответы:
10 – 19%(путаница в терминах:
«радиус» и «диаметр»);
5 – 13% (попытка угадать ответ).
7,60 % - не дали ответа

Вариант 3. Высота конуса равна 21, а длина образующей равна 29. Найдите диаметр основания конуса. Ответ: 40.
Верный ответ – 76,86%
Массовые неверные ответы:
20 – 29%(найден радиус основания конуса, а не диаметр);
8 – 8% (найдена разность образующей и высоты).
4,74 % - не дали ответа

Ошибки при выполнении задачи В9
• отсутствие видения геометрической конструкции;
• неумение применить теорему Пифагора к решению прямоугольного треугольника;
• вычислительные.

Задача В10. Вариант 1.
Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России. Ответ: 0,08.
Верный ответ – 72,24%
Массовые неверные ответы:
0,8 – 8%(вычислительная ошибка);
0,09 – 7% (округление до сотых отношения 7 к 76).
5,32% - не дали ответа

1) 76-1 = 75
2) 7-1= 6
3) 6:75= 0,08
Ошибки при решении задания В10
• неверное прочтение условия задачи;
• нахождение вероятности другого события;
вычислительные.

Задача В11. Вариант 1.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D,A1, B1, C1 , D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2.
Ответ: 8.
12 – 8% (предположительно, ошибка
в формуле объёма пирамиды).
Верный ответ – 62,71%
Массовые неверные ответы:
24 – 60%(найден объём призмы);
8 – 12% (ошибка в формуле объёма
пирамиды).
8,01% - не дали ответа

Ошибки при решении задания В11
- отсутствие видения геометрической конструкции;
- ошибочная формула объёма тела;
- вычислительные.

Задача В12. Вариант 1.
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 217 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле: ,
где c =1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f , если скорость
погружения батискафа не должна превышать 12 м/с.
Ответ выразите в МГц. Ответ: 220,5.

Верный ответ - 52,11%
Массовые неверные ответы:
220 – 24% (округлили ответ до целых);
22,5 – 13% (вычислительная ошибка).
13,15% - не дали ответа
При выполнении заданий В12 допущены вычислительные ошибки
2=1500·((f-217)/(f+217) сократим на 12
1=125·((f-217)/(f+217)) |: 125
1/125=(f-217)/(f+217) по свойству пропорции
1(f+217)=125(f-217) f+217=125f-27125
-124f=-27342 |: (-124) f=220,5

Задача В13. Вариант 2.
Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 42 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды?
Ответ: 189.
Решение: Можно считать и по воде, и по "сухой массе": Сухая масса в изюме: 42 кг·0,81 = 34,02 кг
Эта же масса составляет 18% в "сыром" винограде. Масса винограда: 34,02 кг/0,18 = 189 кг
Верный ответ – 60,86%
4 – 68,46%(найдено значение выражения ) ; 181 – 3,6% (, округление до целого значения
выражения: ). 12,43 % - не дали ответа

Задача В13. Вариант 4
Десять одинаковых рубашек дешевле куртки на 6%. На сколько процентов пятнадцать таких же
рубашек дороже куртки? Ответ: 41
100% - стоимость куртки. 100 - 6 = 94% - стоимость
10 рубашек от стоимости куртки
94/10=9.4% стоимость одной рубашки от куртки.
9.4·15=141% от стоимости куртки; 141-100 = 41%
Верный ответ- 46,95%
Массовые неверные ответы:
9 – 26% (вероятно, комбинация чисел );
3 – 24% (вероятно, комбинация чисел );
11,12% - не дали ответа

Ошибки в заданиях В13
- ошибки, связанные с неправильным прочтением условия задачи и составлением уравнения;
- попытки получить ответ, манипулируя данными в условии числами;
- вычислительные ошибки.

Задача В14
Вариант 1.
Найдите наименьшее значение функции:
на отрезке [2; 32]
Ответ: 42
Верный ответ - 63,10%
Массовые неверные ответы:
222,5 –13 % (видимо, найдено наибольшее значение);
21 – 15% (видимо, найдена абсцисса точки минимума).
Не дали ответа - 12,56%.

Вариант 2.
Найдите точку максимума функции
Ответ: 6.
Верный ответ - 63,34%
Массовые неверные ответы:
6 – 38% (указана точка минимума);
0 – 12% (ошибка в нахождении производной).
Не дали ответа - 12,75%.
Ошибки в заданиях В14:
вычислительные;
незнание и непонимание темы «Применение производной к исследованию функции».