Примеры применения интеграла в физике и геометрии

Примеры вычисления пути, пройденного телом при прямолинейном движении
Пример1. Скорость движения точки изменяется по закону
. Найти путь, пройденный точкой за 10 с
от начала движения
Решение:

Примеры вычисления пути, пройденного телом при прямолинейном движении
Пример 2. Скорость движения точки . Найти
путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
Решение:

Примеры вычисления пути, пройденного телом при прямолинейном движении
Пример 3. Скорость движения точки .
Найти путь, пройденный точкой от начала движения
до её остановки.
Решение:

Применение интегралов в физике
2. Вычисление работы силы, произведённой при прямолинейном движении тела
Еще одной физической величиной, которая находится с помощью
интегрирования, является работа. Для нахождения работы необходимо найти
определенный интеграл функции силы по перемещению.
Работа, произведённая переменной силой f(x) при перемещении по оси
Ox материальной точки от x=a до x=b, вычисляется по формуле:
При решении задач на вычисление работы силы часто используется
закон Гука:
F=kx,
где F-сила, Н; x-абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k- коэффициент пропорциональности, Н/м

Примеры вычисления работы силы, произведённой при прямолинейном движении тела
Пример1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину
0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01м. Какую
работу надо совершить, чтобы растянуть её от 0,22 до 0,32 м?
Решение: по закону Гука: 50=0,01k, т.е. k=5000 Н/м. Находим пределы интегрирования a=0,22-0,2=0,02(м), b=0,32-0,2=0,12(м). Теперь по формуле получим:

Примеры вычисления работы силы, произведённой при прямолинейном движении тела
Пример2. При сжатии пружины на 0,05 м затрачивается работа 25 Дж.
Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1 м?
Решение: зная величину сжатия пружины- 0,05м и
произведённую при этом работу – 25Дж, воспользуемся формулой:
Откуда k=25/0,00125=20000(Н/м). Теперь по этой же формуле находим:

Применение интегралов в геометрии
1) Вычисление площадей плоских фигур.
2) Вычисление объёмов тел вращения. Мы уже рассматривали ранее вычисление площадей
плоских фигур с помощью определённого интеграла, поэтому
рассмотрим более подробно применение определённого
интеграла к вычислению объёмов тел вращения.

Применение интегралов к вычислению объёмов тел вращения
Объём фигуры, образованной в результате вращения вокруг
оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной кривой y=f(x), осью Ox и прямыми x=a и x=b,
вычисляется по формуле:
Аналогично, объём фигуры, образованной в результате
вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции,
ограниченной непрерывной кривой x=f(y), осью Ox и
прямыми y=a и y=b, вычисляется по формуле: