Производная сложной функции

Производная сложной функции

2) случай двух независимых переменных .

Пример.

Производная неявной функции

Пример 1.

2) Случай двух независимых переменных

Пример

Частные производные высших порядков

Пример

Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Градиент.

Теорема

Производную функции одной переменной смело можно назвать производной по направлению – ведь она характеризует скорость изменения функции в направлении оси .
И эта суть с учётом большего разнообразия направлений распространяется на производные функций нескольких переменных, в частности, на производные функции . Геометрически функция двух переменныхИ эта суть с учётом большего разнообразия направлений распространяется на производные функций нескольких переменных, в частности, на производные функции . Геометрически функция двух переменных чаще всего представляет собой поверхность, и значения «зет» у нас чётко ассоциируются с высотой. Таким образом, с позиций геометрии скорость изменения данной функции – есть скорость изменения высоты. При этом совершенно понятно, что «негоризонтальная» поверхность изменчива – в каких-то направлениях она крута, в каких-то полога, а где-то таки «равнина». И производная по направлению как раз призвана охарактеризовать «ландшафт местности» (скорость изменения функции) в различных точках по различным направлениям. В этой связи возникает первый вопрос:

– это ЧИСЛО, характеризующее скорость изменения функции, причём:
– если , то функция в точке по данному
направлению возрастает (поверхность «идёт в гору»);
– если , то функция в точке по данному направлению убывает («склон» поверхности);
– если , то функция в точке по данному направлению постоянна (поверхность параллельна плоскости ).

Механический и геометрический смысл производной по направлению

Градиент функции

Свойства градиента
Если совсем просто, то куда «смотрит» градиент – там и самый крутой «подъём в гору»

Пример

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Опр. 2. Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.