Сумма п первых членов геометрической прогрессии

Тема урока: Сумма п первых членов геометрической прогрессии
Цели урока:
Вывести формулу вычисления суммы п первых членов геометрической прогрессии;
Формировать умения доказывать и применять формулы суммы п первых членов геометрической прогрессии;
Формировать умение устанавливать причинно-следственные логические рассуждения, умозаключения и выводы.

В старинной «Арифметике» Магницкого приведена следующая задача:
Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил такие условия:
Если, по твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же тогда получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в подкове шесть. За первый гвоздь дай мне всего ¼ копейки, за второй ½ копейки, за третий 1 копейку и так далее.
Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.
Состоится ли сделка ? ? ?

Состоится ли сделка ? ? ?
Можем ли мы уверенно утверждать о том, что сделка состоится?
Что нужно сделать для утвердительного ответа?
С какой проблемой Вы столкнулись?
Ваши предложения по разрешению решению данной проблемы.

Вывод формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии
Sn=b1+b2+b3+ …+bn
Умножим обе части этого равенства на q:
Sn* q=b1*q+b2*q+b3*q+ …+bn*q
Учитывая, что b1*q=b2 , b2*q+b3 , bn-1*q= bn, получаем
Sn*q= b2+b3+ …+bn+ bn*q.

Sn*q-Sn=(b2+b3+ …+bn+ bn*q)-(b1+b2+b3+ …+bn),
Sn*(q-1)= bn*q- b1 .
Sn=b1*(qn-1)
q-1
q
1
q-1
Sn= q*bn-b1

Так сколько же стоят подковные гвозди?
Составим последовательность:
¼; ½; 1;…
Какой прогрессией является данная последовательность?
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИЕЙ
Чему равно q ?
q= 2

Цена подковных гвоздей
bn= b1*qn-1
S24 = 2-2 (224 -1) = 222 – 2-2 =
42000 руб
2-1
b24=2-2*223 =2 21

Работа в парах
Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой
b1= 8, q=3
Ответ: 320

Работа в парах
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии:
а) b1= 4, q=-2; б) b1=-32, q=1/2.
Ответ: а) -63; б) -63

Работа в парах
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии:-32; -16;…
Ответ: -63;

Работа в парах
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если b1=2, b5=162. Ответ: 122