Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих

Задача №2
Дано:
∠ АВС = 34°.
Найти:
АОС = ?
Ответ: 68°.
Вписанные углы

Задача №3
Дано:
∠АВС = 54°.
Найти:
∠АКС = ?
Ответ: 54°.
Вписанные углы

Задачи
1. Найдите угол АСО, если его сторона АС касается окружности, О — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна116°. Ответ дайте в градусах.

2. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 46°.
Найдите угол АВС между этой хордой и
касательной к окружности, проведенной
через точку В.

3. Через концы А и С дуги окружности в проведены касательные ВА и ВС . Найдите угол АВС, если угол АОС равен 62° . Ответ дайте в градусах.

6. АВ и AD - секущие окружности. Дуга ВD равна 40°, дуга СЕ = 100°. Найдите угол ВАD .
А
О
С
В
D
E

Тема : «Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих»

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Доказательство:
<1=<2 (опираются на дугу BD)
<3=<4 (вертикальные)
∆СEB~∆AED

А
В
С
D
Е
10
?
E − точка пересечения хорд AB и CD.
ED=2AE, CE=DE-1, BE=10.
Найти CD.

А
В
С
D
Е
10
E − точка пересечения хорд AB и CD.
ED=2AE, CE=DE-1, BE=10.
Найти CD.
2х-1

4. Хорда АВ пересекает диаметр СD окружности в точке Е. АЕ = 3, ВЕ = 8, СЕ = 2. Найдите радиус окружности.

Теорема: Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной
Доказательство:
Рассмотрим Δ AВС и Δ ADВ:
А – общий,
АВС = ∠ АDВ =1/2 ⇒
Δ AВС ~ Δ ADВ (по двум угл.)⇒
Дано:
окружность, АВ – касательная,
АD – секущая.
Доказать:

На отрезке АВ выбрана точка С
так, что АС = 75 и ВС = 10. Окружность с центром
в точке А проходит через точку С.
Найдите длину касательной, проведенной из
точки В к этой окружности.

Теорема: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.
Доказательство:
Проведем касательную AM
М

Из точки вне окружности проведена секущая, пересекающая окружность в точках, удаленных от данной на 12 и 20. Расстояние от данной точки до
центра окружности равно 17. Найдите радиус окружности.

Рис.3
Рис.4
Рис.5