Слайд 2Формула Бернулли
Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появление события А,
![Формула Бернулли Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появление события](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-1.jpg)
либо противоположное ему событие Ấ. Проведем n независимых испытаний.
Обозначим вероятность Р(А) появление события А в единственном испытании буквой р, т.е. Р(А)=р, а вероятность Р(Ấ) – буквой q, т.е Р(Ấ)=1-р=q.
Найдем вероятность Рn(k) наступления события А ровно k раз в n независимых испытаниях.
Слайд 3Обозначим: Аi - появление события А в i – м опыте
i=1, 2,
![Обозначим: Аi - появление события А в i – м опыте i=1,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-2.jpg)
3, …n.
Для n=1
Р1(1)=р, Р1(0)=q, р + q = 1
Для n=2
Р2(2)=р*р, P2(1)=q*р + р*q=2р*q, Р2(0)=q*q,
р² +2p*q + q² = (p+q)² = 1
Слайд 4Для n=3,
Р3(3)=р³, Р3(2)=3р²q, Р3(1)=3рq², Р3(0)=q³,
р³ + 3p²q + 3pq²
![Для n=3, Р3(3)=р³, Р3(2)=3р²q, Р3(1)=3рq², Р3(0)=q³, р³ + 3p²q + 3pq² +](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-3.jpg)
+ q³ = (p+q)³ = 1
Анализируя эти случаи, можно сделать общий вывод: вероятность Рn(k) пропорциональна произведению , причем коэффициент пропорциональности равен т.е.
Формула Бернулли
Слайд 5Задача 1.
Вероятность изготовления на станке нестандартной детали равна 0,02. Какова вероятность того,
![Задача 1. Вероятность изготовления на станке нестандартной детали равна 0,02. Какова вероятность](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-4.jpg)
что среди наудачу взятых шести деталей окажется
а) четыре нестандартные
б) более четырех стандартных
Слайд 8Локальная теорема Муавра- Лапласа
Если вероятность наступления события А в каждом из n
![Локальная теорема Муавра- Лапласа Если вероятность наступления события А в каждом из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-7.jpg)
независимых испытаниях равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Рn(k) того, что в n испытаниях событие А наступит k раз, приближенно равна (чем больше n, тем точнее) значению функции , где
Слайд 9План нахождения Рn(k) по локальной теореме Муавра-Лапласа
Вычислить
По приложению 2 найти
Вычислить
Свойства f(x):
f(-x)=f(x)
f (-∞)
![План нахождения Рn(k) по локальной теореме Муавра-Лапласа Вычислить По приложению 2 найти](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-8.jpg)
= f ( ∞) =0
Слайд 10Примеры:
f(1)=f(1.00)=0.24197
f(-2.05)=f(2.05)=0.04879
f(0.52)=0.34849
f(5.21)=0
![Примеры: f(1)=f(1.00)=0.24197 f(-2.05)=f(2.05)=0.04879 f(0.52)=0.34849 f(5.21)=0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-9.jpg)
Слайд 11Задача 2
Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0,9. Найти
![Задача 2 Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0,9.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-10.jpg)
вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартными.
Слайд 13Интегральная теорема Муавра- Лапласа
Если вероятность р наступления события А в каждом из
![Интегральная теорема Муавра- Лапласа Если вероятность р наступления события А в каждом](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-12.jpg)
n независимом испытании равна отлична от нуля и единицы, то для вероятности Рn(k1, k2) того, событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, справедливо следующее соотношение:
Слайд 14План нахождения Рn(k1, k2) по интегральной теореме Муавра-Лапласа
Вычислить
По приложению 3 найти Ф(х1)
![План нахождения Рn(k1, k2) по интегральной теореме Муавра-Лапласа Вычислить По приложению 3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-13.jpg)
и Ф(х2)
Вычислить
Свойства Ф(x):
Ф(-x)= 1- Ф(x)
Ф (-∞) = 0
Ф( ∞) =1
Слайд 15Примеры:
Ф(1)=Ф(1.00)=0.84134
Ф(-2.05)=1-Ф(2.05)=
=1-0,97982=0,02018
3. Ф(5.21)=1
![Примеры: Ф(1)=Ф(1.00)=0.84134 Ф(-2.05)=1-Ф(2.05)= =1-0,97982=0,02018 3. Ф(5.21)=1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-14.jpg)
Слайд 16Задача 3
Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625
![Задача 3 Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-15.jpg)
изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?
Слайд 18Формула Пуассона
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но
![Формула Пуассона Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-17.jpg)
близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np=λ<10, то вероятность Рn(k) того, что в n испытаниях событие А наступит k раз, приближенно равна , ,т.е.
Формула Пуассона
Слайд 19План нахождения Рn(k) по формуле Пуассона
Вычислить n·p=λ
По приложению 1
найти Рn(k)
![План нахождения Рn(k) по формуле Пуассона Вычислить n·p=λ По приложению 1 найти Рn(k)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-18.jpg)
Слайд 20Задача 4
Устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ее отказа
![Задача 4 Устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ее](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1178225/slide-19.jpg)
в течении 1 ч. работы устройства равна 0,004. Какова вероятность того, что за 1000 ч. работы устройства придется пять раз менять микросхему?