1665470218901_Лекция Бернулли-1

Содержание

Слайд 2

Формула Бернулли

Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появление события А,

Формула Бернулли Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появление события
либо противоположное ему событие Ấ. Проведем n независимых испытаний.
Обозначим вероятность Р(А) появление события А в единственном испытании буквой р, т.е. Р(А)=р, а вероятность Р(Ấ) – буквой q, т.е Р(Ấ)=1-р=q.
Найдем вероятность Рn(k) наступления события А ровно k раз в n независимых испытаниях.

Слайд 3

Обозначим: Аi - появление события А в i – м опыте i=1, 2,

Обозначим: Аi - появление события А в i – м опыте i=1,
3, …n.
Для n=1
Р1(1)=р, Р1(0)=q, р + q = 1
Для n=2
Р2(2)=р*р, P2(1)=q*р + р*q=2р*q, Р2(0)=q*q,
р² +2p*q + q² = (p+q)² = 1

Слайд 4

Для n=3,
Р3(3)=р³, Р3(2)=3р²q, Р3(1)=3рq², Р3(0)=q³,
р³ + 3p²q + 3pq²

Для n=3, Р3(3)=р³, Р3(2)=3р²q, Р3(1)=3рq², Р3(0)=q³, р³ + 3p²q + 3pq² +
+ q³ = (p+q)³ = 1
Анализируя эти случаи, можно сделать общий вывод: вероятность Рn(k) пропорциональна произведению , причем коэффициент пропорциональности равен т.е.
Формула Бернулли

Слайд 5

Задача 1.

Вероятность изготовления на станке нестандартной детали равна 0,02. Какова вероятность того,

Задача 1. Вероятность изготовления на станке нестандартной детали равна 0,02. Какова вероятность
что среди наудачу взятых шести деталей окажется
а) четыре нестандартные
б) более четырех стандартных

Слайд 6

Решение

Решение

Слайд 8

Локальная теорема Муавра- Лапласа

Если вероятность наступления события А в каждом из n

Локальная теорема Муавра- Лапласа Если вероятность наступления события А в каждом из
независимых испытаниях равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Рn(k) того, что в n испытаниях событие А наступит k раз, приближенно равна (чем больше n, тем точнее) значению функции , где

Слайд 9

План нахождения Рn(k) по локальной теореме Муавра-Лапласа

Вычислить
По приложению 2 найти
Вычислить
Свойства f(x):
f(-x)=f(x)
f (-∞)

План нахождения Рn(k) по локальной теореме Муавра-Лапласа Вычислить По приложению 2 найти
= f ( ∞) =0

Слайд 10

Примеры:
f(1)=f(1.00)=0.24197
f(-2.05)=f(2.05)=0.04879
f(0.52)=0.34849
f(5.21)=0

Примеры: f(1)=f(1.00)=0.24197 f(-2.05)=f(2.05)=0.04879 f(0.52)=0.34849 f(5.21)=0

Слайд 11

Задача 2

Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0,9. Найти

Задача 2 Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0,9.
вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартными.

Слайд 12

Решение.

Решение.

Слайд 13

Интегральная теорема Муавра- Лапласа

Если вероятность р наступления события А в каждом из

Интегральная теорема Муавра- Лапласа Если вероятность р наступления события А в каждом
n независимом испытании равна отлична от нуля и единицы, то для вероятности Рn(k1, k2) того, событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, справедливо следующее соотношение:

Слайд 14

План нахождения Рn(k1, k2) по интегральной теореме Муавра-Лапласа

Вычислить
По приложению 3 найти Ф(х1)

План нахождения Рn(k1, k2) по интегральной теореме Муавра-Лапласа Вычислить По приложению 3
и Ф(х2)
Вычислить
Свойства Ф(x):
Ф(-x)= 1- Ф(x)
Ф (-∞) = 0
Ф( ∞) =1

Слайд 15

Примеры:
Ф(1)=Ф(1.00)=0.84134
Ф(-2.05)=1-Ф(2.05)=
=1-0,97982=0,02018
3. Ф(5.21)=1

Примеры: Ф(1)=Ф(1.00)=0.84134 Ф(-2.05)=1-Ф(2.05)= =1-0,97982=0,02018 3. Ф(5.21)=1

Слайд 16

Задача 3

Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625

Задача 3 Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано
изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?

Слайд 17

Решение

Решение

Слайд 18

Формула Пуассона

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но

Формула Пуассона Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна,
близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np=λ<10, то вероятность Рn(k) того, что в n испытаниях событие А наступит k раз, приближенно равна , ,т.е.
Формула Пуассона

Слайд 19

План нахождения Рn(k) по формуле Пуассона

Вычислить n·p=λ
По приложению 1
найти Рn(k)

План нахождения Рn(k) по формуле Пуассона Вычислить n·p=λ По приложению 1 найти Рn(k)

Слайд 20

Задача 4

Устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ее отказа

Задача 4 Устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ее
в течении 1 ч. работы устройства равна 0,004. Какова вероятность того, что за 1000 ч. работы устройства придется пять раз менять микросхему?