Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Нелинейные уравнения f(x)=0
Алгебраические уравнения
Трансцендентные уравнения

число x*, если f(x*)=0
корень уравнения f(x)=0 – это ….
x2–e-x =0
Пример.
f(x)= x2–e-x

корень k-й кратности уравнения f(x)=0 – это
число x*, если при x=x* вместе с функцией f(x) равны нулю
ее производные до (k-1) порядка включительно:
k=1 – однократный или простой корень уравнения f(x)=0

число x , если |x-x*|
приближенное значение корня уравнения f(x)=0 с погрешностью e

Этапы решения
нелинейного уравнения f(x)=0:
1 Постановка задачи
2 Отделение корня
3 Уточнение корня
4 Анализ полученного результата

Пример.
tg(x2-3)+ex-3 =0
1 Постановка задачи

Определение числа корней алгебраических уравнений
Пример:
Общее число корней :
число положительных корней :
число отрицательных корней :
6 корней
4 либо 2 либо 0
+, -, +, +, -, +
2 либо 0
+, -, -, +, +, +
- общее число корней
- число положительных корней
- число отрицательных корней

2 Отделение корней
1 Графический метод
y=f(x)
x2–e-x =0
Пример.
f(x)= x2–e-x
[a, b] – интервал неопределенности
[a, b] =[0,2]

f(x)=0
f1(x)=f2(x)
y=f1(x)
y=f2(x)
x2–e-x =0
Пример.
y=f1(x)= x2
y=f2(x)= e-x
графический метод:
[a, b] =[0,2]

теорема Больцано-Коши (необходимое и достаточное условие существования корней) :
Свойства непрерывных функций
Если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) на концах его имеет
противоположные знаки, т.е. f(a)*f(b)<0, то внутри отрезка [a,b] существует
точка с, в которой значение функции равно 0, т.е. f(c)=0.
Если функция f(x) к тому же еще и строго монотонна, то корень на отрезке [a,b] единственный
Графический метод

2 Отделение корней
2.2 Аналитический
Метод Штурма
Критические точки функции f(x) – это …
точки, в которых производная функции f(x) равна нулю или не существует
Пример:
5x-6x-3=0
f ’(x)=5x * ln5-6
5x * ln5-6=0
График

f(x)=5x-6x-3

3 Уточнение корней
Методы уточнения корней:
прямые методы
итерационные методы
одношаговые
многошаговые
x0, x1, …, xk…
итерационные методы
Условие окончания итераций:

3 Методы уточнения корней
1 перебор всех возможных значений функции
2 замена нелинейной функции той или иной более простой функцией (линейной, параболической), близкой к исходной нелинейной и поиск корня этой функции
3 нелинейное уравнение вида f(x)=0 сводят к одной из форм вида g(x)=ϕ(x) и стремятся обеспечить равенство левой и правой частей

Как найти общее число корней алгебраического уравнения?
Контрольные вопросы:
2) Что дает отделение корней?
3) Какие способы отделения корней вы узнали?
4) Для чего нужны критические точки функции f(x)?
5) Сколько корней может быть у функции, если у нее существует только одна критическая точка?

Тест:
2 Корень уравнения называется простым, если
А) это простое число
Б) он однократный
В) он вычисляется просто
Г) его значение очевидно
1 Корнем уравнения f(x)=0 называется значение х*, при котором
А) производная функции f(x) в этой точке равна нулю
Б) функция f(x) в этой точке равна нулю
В) производная функции f(x) в этой точке не существует
Г) функция f(x) в этой точке не существует
3 Уравнение f(x)=0 имеет корень на отрезке [a,b], если функция f(x) на [a,b]
А) непрерывна
Б) монотонно возрастает
В) на концах отрезка имеет значения разных знаков
Г) дифференцируема

4 Критические точки функции f(x) – это точки, в которых
А) функция f(x) равна нулю или не существует
Б) функция f(x) меняет знак с “минуса на “плюс”
В) производная функции f(x) равна нулю или не существует
Г) производная функция f(x) меняет знак с “минуса ” на “плюс”
5 Алгебраическое уравнение будет иметь корней
А) 2
Б) 3
В) 4
Г) 7