Аксиомы

Школьный курс геометрии состоит из двух частей:
ПЛАНИМЕТРИИ
СТЕРЕОМЕТРИИ

ПЛАНИМЕТРИЯ
СТЕРЕОМЕТРИЯ
7-9
классы
10-11
классы
ГЕОМЕТРИЯ на плоскости
ГЕОМЕТРИЯ в пространстве
«планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo – измерять
и лат. planum – плоская поверхность (плоскость)
«стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем).
Школьный курс
ГЕОМЕТРИИ

Планиметрия
Стереометрия
Изучает свойства геометрических фигур на плоскости
Изучает свойства фигур в пространстве
В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»
«гео» – по-гречески земля, «метрео» – мерить
«планиметрия» –от греч. metreo – измерять
и лат. planum – плоская поверхность (плоскость)
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» объемный, пространственный, «метрео» – мерить

Основные фигуры
Планиметрии
(на плоскости)
Точка
Прямая
Стереометрии
(в пространстве)
Точка
Прямая
Плоскость
Плоскость представляет с собой геометрическую фигуру простирающуюся неограниченно во все стороны.

Наряду с точками, прямыми, плоскостями в стереометрии
рассматриваются геометрические тела, изучаются их свойства,
вычисляются площади их поверхностей,
а также вычисляются объёмы тел.
шар
куб
цилиндр

ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей;
ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества;
ГЕОМЕТРИЯ нужна
технику,
инженеру,
рабочему,
архитектору,
модельеру …
Мы знаем, что

Стереометрия широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.
При
проектировании
этой машины важно было получить такую форму, чтобы при движении сопротивление воздуха было минимально.

Оперный театр в Сиднее
Датский архитектор Йорн Утцон был вдохновлён видом парусов.

Эйфелева башня
Париж, Марсово поле
Инженер Гюстав Эйфель нашел необычную форму для своего проекта.
Эйфелева башня весьма устройчива: сильный ветер отклоняет ее вершину всего лишь на 10-12 см. В жару от неравномерного нагревания солнечными лучами она может отклониться на 18 см.

Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления — это ключ к изучению стереометрии
ВЫВОД:
При изучении стереометрии мы будем пользоваться рисунками, чертежами: они помогут нам понять, представить, проиллюстрировать содержание того или иного факта.
Поэтому прежде, чем приступить к пониманию сущности аксиомы, определения, доказательству теоремы, решению геометрической задачи, постарайтесь наглядно представить, вообразить, нарисовать фигуры, о которых идет речь .
«Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», — признавался великий математик Леонард Эйлер (1707—1783).

Учебный материал
10 класса
по геометрии
ЧТО БУДЕМ ИЗУЧАТЬ В 10-м КЛАССЕ

Точки обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С, D, Е, К,…
Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c, d, e, k,…
Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ, λ, π,ω,…
А
В
С
Е
a
b
α
β
γ
Или обозначаем прямую двумя прописными латинскими буквами.

Основные понятия стереометрии
точка,
прямая,
плоскость,
расстояние
α = (РКС)
A∉α , KC ⊂ α , P ∈ α , PK = 2 см

Аксиомы стереометрии
Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории.
Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены в аксиомах
(от греч. axíõma – принятие положения)

Аксиомы стереометрии
А-1
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна
α = (РКС)

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Иллюстрация к аксиоме А1: стеклянная пластинка плотно ляжет на три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.
A
B
C

Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине. Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
Для видеокамеры, фотосъемки и для других приборов часто используют штатив – треногу. Три ножки штатива устойчиво расположатся на любом полу в помещениях, на асфальте или прямо на газоне на улице, на песке на пляже или в траве в лесу. Три ножки штатива всегда найдут плоскость.

Аксиомы стереометрии
А-2
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
m
М, C ∈ α
m ⊂ α
М, C ∈ m,
Если
то

Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки «ровности» чертежной линейки. Линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный, то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет.

Аксиомы стереометрии
А-3
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
М ∈ α, М ∈ β, М ∈ m
m ∈ α, m ∈ β
α ∩ β = m
М

a
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Наглядной иллюстрацией аксиомы А3
является пересечение двух смежных стен, стены
и потолка классной комнаты.

А1.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Некоторые следствия из аксиом.
Теорема
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
М
a

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Т-1
Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.
м
А
В
Дано: М∉m
Так как М∉m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой.
По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM), Обозначим её α. Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости α..
Таким образом, плоскость α проходит через прямую m и точку M и является искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость — β, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости α и β проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость α единственна.
Теорема доказана
Доказательство
Пусть точки A, B ∈ m.

Некоторые следствия из аксиом.
Теорема
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна
М
a
b
N

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Т-2
Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
N
Дано: m ∩ n = M
Доказательство
Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М.
Рассмотрим плоскость α =(n, N). Так как M∈ α и N∈α, то по А-2 m ⊂ α. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости α и следовательно α, является искомой
Докажем единственность плоскости α. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости α и проходящая через прямые m и n, плоскость β.
Так как плоскость β проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью α. Единственность плоскости α доказана.
Теорема доказана

СЛЕДСТВИЕ ИЗ Т-1
Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
к

По трем точкам, не лежащим на одной прямой
По прямой и точке, не лежащей на этой прямой
По двум пересекающимся прямым
По двум параллельным прямым
ВЫВОД
Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

Сколько существует способов задания плоскости?
Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?
ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ
а)
б)
в)
г)
д)
е)

Взаимное расположение прямой и плоскости.
Прямая лежит в плоскости.
Прямая не пересекает плоскость.
Сколько общих точек в каждом случае?
γ
а
γ
а
М
γ
а
а ⊂ γ
а ∩ γ = М
а ⊄ γ
А2
Прямая пересекает плоскость.

Тренировочные упражнения
Назовите плоскости, в которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
P
E
A
B
C
D
M
K

Тренировочные упражнения
Назовите
точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью АDB.
P
E
A
B
C
D
M
K

Тренировочные упражнения
Назовите точки, лежащие в плоскостях АDB и DBC
P
E
A
B
C
D
M
K

Тренировочные упражнения
Назовите прямые по которым пересекаются плоскости
АВС и DCB
ABD и CDA
PDC и ABC
P
E
A
B
C
D
M
K

Проверить (2)
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Проверить (2)
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
m

Проверить (2)
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.

Проверить
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки, лежащие на одной прямой?
А
С
В

Проверить (3)
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости ?
С
А
В
D
O